（2012•丰台区二模）设函数f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x）（a＞0）．

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：综合作业时间：2024/09/29 08:22:20

（2012•丰台区二模）设函数f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x）（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）证明：对∀x₁，x₂∈R⁺，都有x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]；
（Ⅲ）若

（Ⅰ）a=1时，f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x），（0＜x＜1），
则f′(x)＝lnx−ln(1−x)＝ln
x
1−x．
令f'（x）=0，得x＝
1
2．
当0＜x＜
1
2时，f'（x）＜0，f（x）在(0，
1
2)是减函数，
当
1
2＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）在(
1
2，1)是增函数，
所以 f（x）在x＝
1
2时取得最小值，即f(
1
2)＝ln
1
2． …（4分）
（Ⅱ）因为 f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x），
所以 f′(x)＝lnx−ln(a−x)＝ln
x
a−x．
所以当x＝
a
2时，函数f（x）有最小值．∀x₁，x₂∈R⁺，不妨设x₁+x₂=a，则x1lnx1+x2lnx2＝x1lnx1+(a−x1)ln(a−x1)≥2•
x1+x2
2ln(
x1+x2
2)=（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]． …（8分）
（Ⅲ）（证法一）数学归纳法
ⅰ）当n=1时，由（Ⅱ）知命题成立．
ⅱ）假设当n=k（ k∈N^*）时命题成立，
即若x1+x2+…+x2k＝1，则x1lnx1+x2lnx2+…+x2klnx2k≥−ln2k．
当n=k+1时，x₁，x₂，…，x2k+1−1，x2k+1满足 x1+x2+…+x2k+1−1+x2k+1＝1．
设F(x)＝x1lnx

（2012•丰台区二模）设函数f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x）（a＞0）．设函数f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x）（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时,求函数f（x）的最小值设函数f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x）（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时,求函数f（x）的最小值；请写出详细求设函数f(x)=ln(x+1)+ax,(a属于实数a不等于0）已知函数f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．（2013•丰台区二模）已知函数 f(x)＝alnx−(a+1)x+12x2(a≥0)． f(x)=xlnx（1）设F(x)=f(x)/a(a>0),求F(x)在[a,2a]的最大值（2）证明：xlnx>x/e （2014•红桥区二模）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x2+ax-3）ex（a为实数）．设函数f(x)=1/xlnx(x＞0且x≠1）已知函数f(x)=xlnx,g(x)=ax²-a（a∈R）设函数g（x）=（x+1）ln（x+1）-x,f（x）=a（x+1）^2ln(x+1)+bx,曲线已知函数f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），若a＞0，b＞0，证明：alna+blnb≥（a+b）lna+b2