矩阵A可逆与伴随矩阵A星可逆的关系

A^-1表示A逆A*表示A的伴随阵|A|表示行列式A因为A^-1=A*/|A|所以B=A*=|A|A^-1同理B^-1=B*/|B|那么B*=|B|B^-1将B=|A|A^-1代入上式则可：B*=|A

A的为1阶方阵时A不可逆A=0,所以A*=0,所以不可逆A的阶数n大于等于2时(A*)*=|A|^(n-2)A(证明见参考资料例6)因为A不可逆所以|A|=0所以(A*)*=O所以A*(A*)*=|A

A为非零矩阵所以A的秩>0假设A不可逆则A的秩=r(A)+r(B)-n可知0=r(|A|E)=r(A*A)>=r(A*)+r(A)-n=r(A*)-1从而r(A*)0从而r(A*)=1于是r(AT)=

AB=BA=E是A^(-1)=B,B^(-1)=A的充分必要条件.AB=BA只能说AB满足乘法的交换律.再问：逆阵的意思不是说AB=BA，而A就是可逆这意思吗？为什么它要等于E？再答：定义中要求的，没

因为A可逆,所以|A|!=0由AA*=|A|E,两边取行列式,得|A||A*|=|A|^n由|A|!=0,得|A*|=|A|^(n-1)!=0.所以A*可逆.再由AA*=|A|E,知A*=|A|A逆所

由于|A|A逆=A*则(A逆)*=|A逆|(A逆)逆=A/|A|而(A*)逆=(|A|A逆)逆=(A逆)逆/|A|=A/|A|(第二个用到公式(aA)逆=A逆/a)所以两者相等

【反证法】假设A不可逆,则|A|=0所A·A*=|A|·E=0因A*逆,等式两边右乘A*的逆,得A=A·A*·A*的逆=A·A*·A*的逆=0·A*的逆=0即有A=0进而有A*=0（根据伴随矩阵的意义

两种方法1.利用初等变换不改变矩阵的秩因为可逆矩阵可以表示为初等矩阵的乘积而A乘初等矩阵相当于对A作初等变换所以A的秩不变--这个方法包括了可逆矩阵左乘A,右乘A,或是左右同时乘A2.利用r(AB)

由A*=|A|A^-1得(A*)'=|A|(A^-1)'对A'也有(A')*=|A'|(A')^-1=|A|(A')^-1而(A^-1)'=(A')^-1--这个也是性质,易证所以(A*)'=(A')

个人认为由于A*=1A1B（B为A的逆）所以能导出特征值关系,但是2003年数一大题第一个答案却不是这样,感觉再出得可能性不大.

条件应该有A≠0吧.n=2时,设A=abcd则伴随矩阵A*=d-b-ca由转置A‘=A*得a=d,b=-c.当讨论限制为实矩阵,行列式|A|=a²+b²>0,A可逆.复矩阵时有反例

因为A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n-1次方所以A*的行列式不为零.则得到（A*)=n再问：我可以再问你几个吗再答：嗯

1.A不可逆|A|=0AA*=|A|E=O假设|A*|≠0则A=O显然A*=O,与假设矛盾,所以|A*|=0即|A*|=|A|n-1=02.A可逆|A|≠0AA*=|A|EA*也可逆又|AA*|=||

首先无论怎样A(A*)=(A*)A=|A|I是必然成立的现在A可逆所以|A|不为0所以(A/|A|)(A*)=(A*)(A/|A|)=I由定义知A*可逆且其逆就是A/|A|

A*=|A|A^-1|A*|=||A|A^-1|=|A|^n乘以|A^-1|=|A|^（n-1）因为A可逆,所以A的行列式不等于零所以|A|^（n-1）不等于0所以|A*|不等于0所以伴随矩阵可逆

n阶方阵A可逆,|A|≠0AA*=|A|EA*=|A|A^(-1)|A*|=|A|^(n-1)≠0A*可逆

因为A+E不可逆所以|A+E|=0所以-1是A的一个特征值所以|A|/(-1)=-2是A*的一个特征值

证:因为AA*=|A|E,两边取行列式得|A||A*|=||A|E|=|A|^n由A可逆,所以|A|≠0.所以|A*|=|A|^(n-1)≠0所以A*可逆.注:事实上,对任意n阶方阵,|A*|=|A|

令P是对换ij行的排列阵那么B=PA由此得到adj(B)=adj(A)adj(P)把adj(P)算出来就行了事实上P=P^{-1},所以adj(P)=det(P)P^{-1}=-P也就是说adj(B)

AA*=!A!E不等于0故：A*可逆.A*A/!A!=E（A*）^（-1）=A/!A!!表示绝对值.