定义在R上的函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）+k（k为常数）．

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/12 23:36:03

定义在R上的函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）+k（k为常数）．
（I）判断k为何值时，f（x）为奇函数，并证明；
（II）设k=-1，f（x）是R上的增函数，且f（4）=5，若不等式f（mx²-2mx+3）＞3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

（Ⅰ）若f（x）在R上为奇函数，则f（0）=0，
∵函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）+k，
∴令a=b=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）+k，
∴k=0，
下证明函数是奇函数
∵f（a+b）=f（a）+f（b），
∴令a=x，b=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，
∴0=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，
∴f（x）为奇函数；
（Ⅱ）∵k=-1，
∴f（a+b）=f（a）+f（b）-1，
∴f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，即2f（2）-1=5，
∴f（2）=3，
∵不等式f（mx²-2mx+3）＞3对任意x∈R恒成立，
∴f（mx²-2mx+3）＞f（2）对任意x∈R恒成立，
又∵f（x）是R上的增函数，
∴mx²-2mx+3＞2对任意x∈R恒成立，
∴mx²-2mx+1＞0对任意x∈R恒成立，
①当m=0时，1＞0对x∈R恒成立，
∴m=0符合题意；
②当m≠0时，则有

m＞0
△＝4m2−4m＜0，即

m＞0
0＜m＜1，
∴0＜m＜1，
∴实数m的取值范围为0＜m＜1．
综合①②可得，实数m的取值范围是[0，1）．

定义在R上的函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）+k（k为常数）．定义在R上的函数f（X）,对任意实数a,b,都有f（a+b）=f（a）+f（b） 1.求证f（x）是奇函数设f（x）是定义在实数R上的函数.满足f（0）=1且对任意实数ab都有f（a）-f(a-b)=b(2a-b+1),则f（定义在R上的函数f(x)对任意两个不等数a,b总有〔f(a)-f(b)〕/(a-b)>0,则必有（）定义在R上的函数f(x)满足f(0)=1,且对任意实数a,b有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f（x）的解如果函数f（x）的定义域为R,对任意实数a b满足f（a+b）=f（a）*f（b）,设f（1）=k 求f（10）已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x）定义在R上的函数y=f(x),对任意的a,b属于R,满足f(a+b)=f（a）+f（b）x>0时 f(x) 设f（x）是定义在R上的奇函数,且对任意a,b属于R,当a+b不等于0时,都有f 设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足f（0）=1，且对任意实数a、b，有f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1），设f(x)是定义在实数集R上的函数,满足f(0)=1,且对任意实数a,b,有 f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1）已知函数f（x）是定义在R上的不恒为0的函数,且对任意的a,b∈R都满足f（ab）=af（b）+bf（a）