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x1与x2分别是实系数方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根,且x1≠x2,x1≠0,x2≠0.求证:

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/20 19:10:37
x1与x2分别是实系数方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根,且x1≠x2,x1≠0,x2≠0.求证:方程
a
2
x1与x2分别是实系数方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根,且x1≠x2,x1≠0,x2≠0.求证:
证明:由于x1与x2分别是方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的根,
所以有

ax12+bx1+c=0
−ax22+bx2+c=0
设f(x)=
a
2x2+bx+c,
则f(x1)=
a
2x12+bx1+c=-
a
2x12
f(x2)=
a
2x22+bx2+c=
3a
2x22
∴f(x1)f(x2)=-
3
4a2x12x22
由于x1≠x2,x1≠0,x2≠0,
所以f(x1)f(x2)<0,
因此方程
a
2x2+bx+c=0有一个根介于x1和x2之间.