已知函数fx=a^x+(x-2)/(x+2) (a>1) 证明f (x)在(-1,+∞)上为增函数
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 22:20:48
已知函数fx=a^x+(x-2)/(x+2) (a>1) 证明f (x)在(-1,+∞)上为增函数
直接利用定义来做就是了
设x2>x1>-1
则:
f(x2)-f(x1)
=a^x2+(x2-2)/(x2+2)-a^x1-(x2-2)/(x2+2)
=(a^x2-a^x1)+[(x2-2)*(x1+2)-(x1-2)*(x2+2)]/[(x1+2)*(x2+2)]
由于a>1,则a^x在整个定义域上是增函数,所以a^x2-a^x1>0
由于x2>x1>-1,所以x2+2>0 x1+2>0
所以[(x1+2)*(x2+2)]>0
现在对分子[(x2-2)*(x1+2)-(x1-2)*(x2+2)]进行化简
化简后得:
4(x2-x1)
由于x2>x1>-1
所以4(x2-x1)>0
所以)[(x2-2)*(x1+2)-(x1-2)*(x2+2)]/[(x1+2)*(x2+2)]>0
所以
f(x2)-f(x1)>0
所以函数f (x)在(-1,+∞)上为增函数
设x2>x1>-1
则:
f(x2)-f(x1)
=a^x2+(x2-2)/(x2+2)-a^x1-(x2-2)/(x2+2)
=(a^x2-a^x1)+[(x2-2)*(x1+2)-(x1-2)*(x2+2)]/[(x1+2)*(x2+2)]
由于a>1,则a^x在整个定义域上是增函数,所以a^x2-a^x1>0
由于x2>x1>-1,所以x2+2>0 x1+2>0
所以[(x1+2)*(x2+2)]>0
现在对分子[(x2-2)*(x1+2)-(x1-2)*(x2+2)]进行化简
化简后得:
4(x2-x1)
由于x2>x1>-1
所以4(x2-x1)>0
所以)[(x2-2)*(x1+2)-(x1-2)*(x2+2)]/[(x1+2)*(x2+2)]>0
所以
f(x2)-f(x1)>0
所以函数f (x)在(-1,+∞)上为增函数
已知函数fx=a^x+(x-2)/(x+2) (a>1) 证明f (x)在(-1,+∞)上为增函数
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