已知关于x的方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0的解都是正整数,求整数k的值.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 19:24:06
已知关于x的方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0的解都是正整数,求整数k的值.
分两种情况:
①如果k2-1=0,那么k=±1.
当k=1时,原方程即为-12x+72=0,x=6,解是正整数,符合题意;
当k=-1时,原方程即为24x+72=0,x=-3,解不是正整数,不符合题意;
②如果k2-1≠0,那么原方程为一元二次方程.
∵关于x的方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0的解都是正整数,
∴方程有实数根,判别式△≥0,
[-6(3k-1)]2-4×(k2-1)×72≥0,
整理,得:k2-6k+9≥0,
(k-3)2≥0.
设方程两根分别为x1,x2,由韦达定理,得
x1+x2=
6(3k−1)
k2−1>0,
解得k>1或-1<k<
1
3,
x1x2=
72
k2−1>0,
k>1或k<-1.
综上,得k>1,
∵
72
k2−1为整数,∴k2-1可以为1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72,
∵k为整数,∴k2-1可以为3,8,24,
∵
6(3k−1)
k2−1为整数,
∴k=2,3.
,综上,可知整数k的值1,2,3.
①如果k2-1=0,那么k=±1.
当k=1时,原方程即为-12x+72=0,x=6,解是正整数,符合题意;
当k=-1时,原方程即为24x+72=0,x=-3,解不是正整数,不符合题意;
②如果k2-1≠0,那么原方程为一元二次方程.
∵关于x的方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0的解都是正整数,
∴方程有实数根,判别式△≥0,
[-6(3k-1)]2-4×(k2-1)×72≥0,
整理,得:k2-6k+9≥0,
(k-3)2≥0.
设方程两根分别为x1,x2,由韦达定理,得
x1+x2=
6(3k−1)
k2−1>0,
解得k>1或-1<k<
1
3,
x1x2=
72
k2−1>0,
k>1或k<-1.
综上,得k>1,
∵
72
k2−1为整数,∴k2-1可以为1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72,
∵k为整数,∴k2-1可以为3,8,24,
∵
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∴k=2,3.
,综上,可知整数k的值1,2,3.
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