已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形PA垂直平面ABCD角ABC=60度,点E,G为CD,PC中点F在PD上,PF

已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形PA垂直平面ABCD角ABC=60度,点E,G为CD,PC中点F在PD上,PF:FD=1:2
求证明BG平行AFC

P点位置未确定,在底面ABCD作AH⊥BC,设菱形边长为1,
△ABC是正△,设PF/PD=k,
以A为原点,AH为X轴,AD为Y轴,AP为Z轴建立空间直角坐标系,
A（0,0,0）,B（√3/2,-1/2,0）,C（√3/2,1/2,0）,
D（0,2,0）,P（0,0,m）,F(0,2/k,(k-1)m/k),G(√3/4,1/4,m/2),
设向量AC=（√3/2,1/2,0）,向量AF=(0,2/k,(k-1)m/k),
设平面AFC法向量n1=(x1,y1,1),
n1·AC=√3/2x1+y1/2=0,y1=-√3x1,
n1·AF=0+2y1/k+(k-1)m/k=0,y1=(k-1)m,y1=-(k-1)m/2,
x1=(k-1)m/（2√3）,
n1=((k-1)m/（2√3）, -(k-1)m/2,1),
BG=(-√3/4,3/4,m/2),
BG·n1=(k-1)m/（2√3）*(-√3/4)-(3/4)* (k-1)m/2+m/2=-(k-1)/8-(3/8)(k-1)m+m/2=0,（因为当平面法向量和直线垂直时,则直线和平面平行）
-(k-1)/2+1/2=0,
∴k=2,
∴PF/PD=2,
即F应是PD的中点时,BG//平面AFC,此时AP长度未确定,故本题条件有误,不是PF：FD=1：2,应该是PF：FD=1：1,即F是PD的中点.
现反过来再设F的坐标值,F（0,1,m/2),
向量AF=（0,1,m/2）
n1·AC=√3/2x1+y1/2=0,y1=-√3x1,
n1·AF=0+y1+m/2=0,
∴y1=-m/2,x1=√3m/6,
∴n1=(√3m/6,-m/2,1),
向量BG=(-√3/4,3/4,m/2),
BG·n1=-m/8-3m/8+m/2=0,
∴向量BG⊥法向量n1,
∴BG//平面AFC.
故必须改正题中已知条件,PF/FD=1/2时BG不平行平面AFC,只有F是PD中点时,即PF：FD=1：1结论才正确.
再问： PF：FD=2:1 没错，不用空间向量不行吗 能不能构造出一个平面呢
再答： 我的答案中,D点坐标有误,D(0,1,0),重新作一遍,P点位置未确定，在底面ABCD作AH⊥BC，设菱形边长为1，△ABC是正△，设PF/PD=1/k,以A为原点，AH为X轴，AD为Y轴，AP为Z轴建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（√3/2，-1/2，0），C（√3/2，1/2，0），D（0，1，0），P（0,0,m）,F(0,1/k,(k-1)m/k),G(√3/4，1/4，m/2),设向量AC=（√3/2，1/2，0），向量AF=(0,1/k,(k-1)m/k)，设平面AFC法向量n1=(x1,y1,1),n1·AC=√3/2x1+y1/2=0,y1=-√3x1,n1·AF=0+y1/k+(k-1)m/k=0,y1=-(k-1)m,x1=(k-1)m/（√3），n1=((k-1)m/（√3）, -(k-1)m,1),BG=(-√3/4,3/4,m/2),BG·n1=(k-1)m/（√3）*(-√3/4)-(3/4)* (k-1)m+m/2=-(k-1)/4-(3/4)(k-1)m+m/2=0,（因为当平面法向量和直线垂直时，则直线和平面平行）-(k-1)+1/2=0,∴k=3/2∴PF/PD=1/(3/2)=2/3PF/FD=2,故原题有误!此时AP长度未确定，现反过来再设F的坐标值，F（0，2/3，m/3),向量AF=（0，2/3，m/3）n1·AC=(√3/2)x1+y1/2=0,y1=-√3x1,n1·AF=0+2y1/3+m/3=0,∴y1=-m/2,x1=√3m/6,∴n1=(√3m/6,-m/2,1),向量BG=(-√3/4,3/4,m/2),BG·n1=-m/8-3m/8+m/2=0,∴向量BG⊥法向量n1,∴BG//平面AFC。因为你的原题PF/FD比例有误,使我不得不周折用向量推导比值. 连结BD、AC，交于O，在平面PBD上，连结OF，取PF中点Q（PQ=PD/3），连结BQ，GQ，∵QF=DF，BO=OD，∴OF是△BQD的中位线，∴OF//BQ，同理QG是△PCF的中位线，∴QG//CF，∵FC∩OF=F，QG∩BQ=Q，∴平面BGQ//平面COF，∵平面COF是平面ACF的一部分，∴平面BQG//平面ACF，∵BG∈平面BQG，∴BG//平面ACF。