在三角形ABC内求一点P使向量PA的平方+向量PB的平方+向量PC的平方的值最小
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 00:26:35
在三角形ABC内求一点P使向量PA的平方+向量PB的平方+向量PC的平方的值最小
简单的来说就要用到中线长公式,m^2=(2*a^2+2*b^2-c^2)/4其中a,b,c为三边,
m为AB边中线长.
这个公式用余弦定理很容易得到.
设AB中点为D
先假设丨向量PA丨^2+丨向量PB丨^2是个固定的值.
那么用公式丨向量PA丨^2+丨向量PB丨^2=(4*丨向量PD丨^2+c^2)/2
所以丨向量PD丨^2也是固定的,P点的轨迹为以D为圆心的圆.
那么只需使丨向量PC丨^2取到最小值,
画个图看很显然CPD三点共线的时候丨向量PC丨最小.CPD是中线.
同理在其它两边也必须满足这个共线条件.
P则为三条中线的交点,△ABC的(重心).
这个做法的思想是冻结变量.
m为AB边中线长.
这个公式用余弦定理很容易得到.
设AB中点为D
先假设丨向量PA丨^2+丨向量PB丨^2是个固定的值.
那么用公式丨向量PA丨^2+丨向量PB丨^2=(4*丨向量PD丨^2+c^2)/2
所以丨向量PD丨^2也是固定的,P点的轨迹为以D为圆心的圆.
那么只需使丨向量PC丨^2取到最小值,
画个图看很显然CPD三点共线的时候丨向量PC丨最小.CPD是中线.
同理在其它两边也必须满足这个共线条件.
P则为三条中线的交点,△ABC的(重心).
这个做法的思想是冻结变量.
在三角形ABC内求一点P使向量PA的平方+向量PB的平方+向量PC的平方的值最小
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已知三角形ABC的三个顶点A B C及平面内一点P满足向量PA+向量PB=向量PC
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