神马作文网高一数学：单调性法求最值：f(x)=√￣x+√￣（1-x)的最大值和最小值
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/20 16:27:12
高一数学：单调性法求最值：f(x)=√￣x+√￣（1-x)的最大值和最小值
我是这样写的：因为f（x)=√￣X在【0,1】内是增函数,f(x)=√￣（1-x)是减函数,所以f(x)=√￣x+√￣（1-x)在【0,1】内是减函数,所以当X取最小值0时有最大值1..
请问以上步骤错在哪,正确的又该怎么写,尽量详细,感激不尽!
我是这样写的：因为f（x)=√￣X在【0,1】内是增函数,f(x)=√￣（1-x)是减函数,所以f(x)=√￣x+√￣（1-x)在【0,1】内是减函数,所以当X取最小值0时有最大值1..
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增加减,单调性不确定的.
可以利用三角代换
因为0≤x≤1,所以可令x=(cosθ)^2,θ∈[0,π/2]
f(x)=cosθ+sinθ=√2sin(θ+π/4)
θ+π/4∈[π/4,3π/4]
f(x)∈[1,√2],最小值为1,最大值为√2.
另：平方得f^2(x)=1+2√(-x^2+x)
所以x=1/2时,f(x)取得最大值√2,x=0或1时,f(x)取得最小值1.
可以利用三角代换
因为0≤x≤1,所以可令x=(cosθ)^2,θ∈[0,π/2]
f(x)=cosθ+sinθ=√2sin(θ+π/4)
θ+π/4∈[π/4,3π/4]
f(x)∈[1,√2],最小值为1,最大值为√2.
另：平方得f^2(x)=1+2√(-x^2+x)
所以x=1/2时,f(x)取得最大值√2,x=0或1时,f(x)取得最小值1.
高一数学：单调性法求最值：f(x)=√￣x+√￣（1-x)的最大值和最小值
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