设矩阵 1 -1 -1 A= -1 1 -1 求正交矩阵T 使 (T的-1次方)*AT=T'AT为对角矩阵.-1 -1
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 21:23:56
设矩阵 1 -1 -1 A= -1 1 -1 求正交矩阵T 使 (T的-1次方)*AT=T'AT为对角矩阵.-1 -1 1
要求写出正交矩阵T和相应的对角矩阵(T的-1次方)*AT=T'AT
要求写出正交矩阵T和相应的对角矩阵(T的-1次方)*AT=T'AT
1 -1 -1
-1 1 -1
-1 -1 1
|A-λE| =
1-λ -1 -1
-1 1-λ -1
-1 -1 1-λ
= -(λ + 1)(λ - 2)^2
所以A的特征值为 -1,2,2
解出 (A+E)X=0 的基础解系:a1=(1,1,1)^T
解出 (A-2E)X=0 的基础解系:a2=(1,-1,0)^T,a3=(1,0,-1)^T
将a2,a3正交化得
b1=(1,1,1)^T
b2=(1,-1,0)^T
b3=(1/2,1/2,-1)^T
单位化得
c1 = (1/√3,1/√3,1/√3)^T
c2 = (1/√2,-1/√2,0)^T
c3 = (1/√6,1/√6,-2/√6)^T
得正交矩阵T =
1/√3 1/√2 1/√6
1/√3 -1/√2 1/√6
1/√3 0 -2/√6
则有 T^(-1)AT=T'AT = diag(-1,2,2).
-1 1 -1
-1 -1 1
|A-λE| =
1-λ -1 -1
-1 1-λ -1
-1 -1 1-λ
= -(λ + 1)(λ - 2)^2
所以A的特征值为 -1,2,2
解出 (A+E)X=0 的基础解系:a1=(1,1,1)^T
解出 (A-2E)X=0 的基础解系:a2=(1,-1,0)^T,a3=(1,0,-1)^T
将a2,a3正交化得
b1=(1,1,1)^T
b2=(1,-1,0)^T
b3=(1/2,1/2,-1)^T
单位化得
c1 = (1/√3,1/√3,1/√3)^T
c2 = (1/√2,-1/√2,0)^T
c3 = (1/√6,1/√6,-2/√6)^T
得正交矩阵T =
1/√3 1/√2 1/√6
1/√3 -1/√2 1/√6
1/√3 0 -2/√6
则有 T^(-1)AT=T'AT = diag(-1,2,2).
求正交矩阵T使T的-1次方AT=T'AT为对角矩阵
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