设A,B,A B均为n阶可逆方阵证明A^-1 B^-1可逆
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/07 08:25:02
A+B=AB,即:AB-A-B+E=E(A-E)(B-E)=E所以A-E可逆,它的逆就是B-E
|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|
因为I+AB可逆,所以(I+AB)(I+AB)^(-1)=I,推出(B^(-1)B+AB)(B^(-1)B+AB)^(-1)=I,(B^(-1)+A)BB^(-1)(B^(-1)+A)^(-1)=I也
由2A-B-AB=E及A^2=A得A+A^2-AB-B=E,所以(A-B)(A+E)=E,由此知,A-B可逆,且其逆为A+E.
因为[A^(-1)]*AB*A=BA,所以AB与BA相似.注:A^(-1)指的是A的逆矩阵.
证∵(A-E)(B-E)=E又:det(A-E)*det(B-E)=detE=1∴det(A-E)≠0∴A-E是可逆阵
(E-AB)A=A-ABA=A(E-BA)=>A=(E-AB)^(-1)A(E-BA)E=E-BA+BA=E-BA+B(E-AB)^(-1)A(E-BA)=(E+B(E-AB)^(-1)A)(E-BA
因为A,B均为n阶方阵且AB=O所以R(A)+R(B)≤n①假设A、B都可逆,则R(A)=n,R(B)=n那么R(A)+R(B)=2n与①矛盾所以A、B中至少有一个不可逆.
(C)E-B[(E+AB)^-1]A(E+BA)(E-B[(E+AB)^-1]A)=E+BA-(E+BA)B[(E+AB)^-1]A=E+BA-B(E+AB)[(E+AB)^-1]A=E+BA-BA=
(AB)^2=E不能推出AB=E只能知道ABAB=EA的逆矩阵*ABAB*A=A的逆矩阵*E*ABABA=Ea对
AB*(AB)^(-1)=EAB^(-1)=B^(-1)A^(-1)AB*(AB)^(-1)=AB*B^(-1)*A^(-1)=A[B*B^(-1)]A^(-1)=E故:B*B^(-1)不等于0B*B
A^2B+AB^2=E即AAB+ABB=E所以A(A+B)B=E所以A可逆,B可逆所以A(A+B)=B^-1A+B=A^-1B^-1所以A+B可逆且(A+B)^-1=BA
由A可逆,且AB=0等式两边左乘A^-1得A^-1AB=A^-10即B=0所以(A)正确
BX=C-AB^(-1)BX=B^(-1)*(C-A)X=B^(-1)*(C-A)
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A.若A或B可逆,则必有AB可逆这个不对,A,B都可逆时,AB才可逆B.若A或B不可逆,则必有AB可逆不对,原因同上C.若A,B均可逆,则必有A+B可逆不对,E和-E都可逆,和是0矩阵不可逆D.若A.
又是没悬赏的哈AB=0说明B的列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解而B≠0说明Ax=0有非零解所以|A|=0,即A不可逆
由(AB)(B^(-1)A^(-1))=A(B·B(-1))A^(-1)=AEA^(-1)=AA^-1=E这说明(AB)^-1=B^(-1)*A^(-1).