设函数f(x)的定义域为R,且对于任意实数a,b,都有f(a+b)+f(ab)=2f(a)f(b)
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 19:34:12
设函数f(x)的定义域为R,且对于任意实数a,b,都有f(a+b)+f(ab)=2f(a)f(b)
求证f(x)为偶函数
求证f(x)为偶函数
设函数f(x)的定义域为R,且对于任意实数a,b,都有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b),求证f(x)为偶函数?
先根据f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)得到f(-x)=f(x),从而很容易得到函数f(x)的奇偶性.
(1)令a=b=0,得2f(0)=2f²(0).
∵f(0)≠0,∴f(0)=1.
又令a=0,b=x,则f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),
∴f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.
再问: ∵f(0)≠0,怎么知道的?
再答: 先令a=x,b=0,得 2f(x)=2f(x)f(0),故f(0)=1; 再令a=0,b=x,得 f(x)+f(-x)=2f(0)f(x), 即f(x)+f(-x)=2f(x), 故f(-x)=f(x),f(x)是偶函数.
再问: 2f(x)=2f(x)f(0),故f(0)=1;如果f(x)=0,则f(0)可以为任意数, 此题是否缺少条件呢?
再答: 如果f(x)=0恒成立,难道不是偶函数么? 额,把这种情况补上。。。
先根据f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)得到f(-x)=f(x),从而很容易得到函数f(x)的奇偶性.
(1)令a=b=0,得2f(0)=2f²(0).
∵f(0)≠0,∴f(0)=1.
又令a=0,b=x,则f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),
∴f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.
再问: ∵f(0)≠0,怎么知道的?
再答: 先令a=x,b=0,得 2f(x)=2f(x)f(0),故f(0)=1; 再令a=0,b=x,得 f(x)+f(-x)=2f(0)f(x), 即f(x)+f(-x)=2f(x), 故f(-x)=f(x),f(x)是偶函数.
再问: 2f(x)=2f(x)f(0),故f(0)=1;如果f(x)=0,则f(0)可以为任意数, 此题是否缺少条件呢?
再答: 如果f(x)=0恒成立,难道不是偶函数么? 额,把这种情况补上。。。
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