求证一道线性代数题A和B是n*n矩阵 1)若A和B是nonsingualr 求证AB的特征多项式等于BA的特征多项式2)

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/10/07 08:22:54

求证一道线性代数题
A和B是n*n矩阵
1)若A和B是nonsingualr 求证AB的特征多项式等于BA的特征多项式
2)若A和B 是singualr 求证AB的特征多项式等于BA的特征多项式

1) 因为A可逆
所以 A^-1(AB)A = BA
即 AB 与 BA 相似
所以 AB 与 BA 的特征多项式相同
-- 注:A,B 中有一个可逆即可用这个方法证明
2) 当A,B 都不可逆时,用微扰法.
考虑 A+xE.
它的行列式是x的多项式,最高次幂是 x^n
所以当x足够大时,A+xE 的行列式不等于0,即 A+xE 可逆
则由(1)知 (A+xE)B 与 B(A+xE) 的特征多项式相同
将它们的特征多项式看作x的多项式
由于对无穷多的x它们相同
故对任意x它们相同
特别是 x=0 时也相同
故 AB 与 BA 的特征多项式相同.

求证一道线性代数题A和B是n*n矩阵 1)若A和B是nonsingualr 求证AB的特征多项式等于BA的特征多项式2) 如果A和B都是n阶是对称矩阵,并且有相同的特征多项式,证明AB相似. 一道线性代数题目若A和B是n阶矩阵,且I+AB可逆.求证I+BA也可逆,且（I+BA)的逆=I-B*(I+AB)的逆*A 设A,B都是实数域R上的n×n矩阵,证明:AB,BA的特征多项式相等一道线性代数题已知A,B是两个n阶复矩阵,且AB=BA,求证：A,B在复数域内有共同的特征向量线性代数的问题已知A和B都为n阶矩阵.证明：1,AB的迹和BA的迹相等.2,若A或B可逆,求证AB和BA相似.3,A和B 设n阶矩阵A的n个特征根互异,证明：凡具有AB=BA的矩阵B,必与对角矩阵相似,且这样的B是A的多项式关于逆矩阵的证明题设A和B分别是m*n和n*m矩阵,若AB=E(m),BA=E(n),求证m=n且B=A^(-1) (E 设n阶矩阵A和B的特征多项式相等,则（）对于n阶复矩阵B,若B最小多项式和特征多项式相等,证明：存在向量a,使得a,Ba,……B^(n-1)a线性无关,呵呵 A、B都是n阶Hermite 矩阵,证明：A与B相似的充要条件是它们的特征多项式相同矩阵相似问题n阶矩阵A和B有相同的特征多项式和最小多项式,问A与B是否相似?是则给出证明,不是则举出反例.感觉不一定相似