若A是m×n矩阵,秩A＝m,证明存在B是n×m矩阵,使AB＝Im

若A是m×n矩阵,秩A＝m,证明存在B是n×m矩阵,使AB＝Im

再问： 非常感谢！！！
再答： 不客气
再问： 如何证明（3）推（4） 设A是m×n矩阵，证明下述彼此等价
（1）秩A＝m
（2）证明存在B是n×m矩阵，使AB＝Im
（3）对于任意的正整数s,任意两个s×m矩阵C和D,一旦CA＝DA.就有C＝D
(4)A的m个向量组线性无关
再答： 对于任意的正整数s,任意两个s×m矩阵C和D,一旦CA＝DA.就有C＝D

即一旦 (C-D)A=0,就有C-D=0
即方程组XA=0，或ATXT=0只有零解，故R(AT)=m（方程组的未知数的个数）
即AT的m个列向量构成的向量组线性无关，也就是A的m个行向量构成的向量组线性无关。
再答： 不客气
再问： 老师，麻烦帮我解答一下这道题，
设w1是由｛（1 3 -2 2 3），（1 4 -3 4 2），（2 3 -1 -2 9）｝所生成的R5的子空间，w2是由｛（1 3 0 2 1），（1 5 -6 6 3），（2 5 3 2 1）｝所生成的R5的子空间，求w1∩w2的基
再答： 令a1=（1 3 -2 2 3）'，a2=（1 4 -3 4 2）'，a3=（2 3 -1 -2 9）'

b1=（1 3 0 2 1）'，b2=（1 5 -6 6 3）'，b3=（2 5 3 2 1）'

容易得出dimW1=2,dimW2=2
A =(a1,a2,a3,b1,b2,b3)
将A化为行最简型得
B=
1 0 5 0 0 0
0 1 -3 0 2 -1
0 0 0 1 -1 3
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
可知dim(w1+w2)=3,所以dim(w1∩W2)=dimW1+dimW2-dim(w1+w2)=1
故w1∩W2中的任意一个非零元素都是w1∩W2的一组基。
又由最简型可得b2=2a2-b1
所以 2a2=b1+b2=( 2 , 8 , -6 ,8 ,4 ) ≠ 0
2a2∈W1,2a2=b2+b1知2a2∈W2
所以a2∈w1∩W2且 a2 ≠ 0故为w1∩W2的一组基。
再问： dimw1＋dimw2不是等于6吗
再问： dim(w1∩w2)＝3 对吧?
再问：
再问： 麻烦你帮我看一下基础解系我取成这样可以不？
再答： 不对，齐次线性方程组的解空间并非交空间w1∩W2。

最明显的错误是两组向量都是5维的，其交空间的向量怎么可能是6维的。
上面已给出
dimW1=2,dimW2=2，dim(w1+w2)=3

所以dim(w1∩W2)=dimW1+dimW2-dim(w1+w2)=1。
再问： 老师，你帮忙给我看一下这个正确吗？
再问：
再答： 这种解法也是可以的，但它的缺点是只能求交空间而不能求和空间。
而且，齐次线性方程组的解空间并非交空间w1∩W2。而是把求得的解x1,x2 ...,xr代入等式

α=x1α1+x2α2+...+xrαr
看交空间w1∩W2是多少维的，计算出多少线性无关的α来，构成交空间的一组基。
再问： 哦哦！明白了！非常感谢老师
再答： 不客气
再问： 老师，我想问一下，行列式变换时，能不能利用行列式的性质既进行行变换又进行列变换？
再答： 可以的
再问： 嗯嗯！谢谢老师
再问： 老师，麻烦帮我看一下这道题
由向量组a1＝(1,1,-2,1) a2＝(3,1,-4,1) a3＝(-1,1,0,1)所生成的R4的子空间记为W，求一个齐次线性方程组，使得它的解空间为W
再答： 记A=
1.00 1.00 -2.00 1.00
3.00 1.00 -4.00 1.00
-1.00 1.00 0 1.00

解齐次线性方程组AX=0
得x1=x3
x2=x3+x4
得基础解系X1=(1,1,1,0)T,X2=(0,1,0,1)
令B=1 1 1 0
0 1 0 1
则ABT=0,两边转置得 BAT=0
所以齐次线性方程组 BX=0的解空间就是子空间W。
再问： 老师麻烦帮我看一下这道题
f(x)，g(x)是数域F上的多项式，且a,b,c,d∈F,若ad-bc≠0证明(af(x)+bg(x),cf(x)+dg(x))=(f(x),g(x)).
再答： 可利用最大公因式的定义证明。
设d(x)=(f(x),g(x)),则d(x)=(af(x),dg(x)),d(x)=(cf(x),bg(x))
所以存在 u1(x),v1(x),u2(x),v2(x)所得
d(x)=u1(x)af(x)+v1(x)dg(x),d(x)=u2(x)cf(x)+v2(x)bg(x)
所以
d(x)=1/2[(u1(x)a+u2(x)c)f(x)+(v1(x)d+v2(x)b)g(x)]
又d(x)|f(x),d(x)|g(x)
所以d(x)|af(x)+bg(x),d(x)|cf(x)+dg(x)
即d(x)是af(x)+bg(x),cf(x)+dg(x)的公因式。
又设h(x)是af(x)+bg(x),cf(x)+dg(x)的任意公因式。
则h(x)|d(af(x)+bg(x))-b(cf(x)+dg(x))
即h(x)|(da-bc)f(x),则h(x)|f(x),
同理h(x)|g(x)
所以h(x)|1/2[(u1(x)a+u2(x)c)f(x)+(v1(x)d+v2(x)b)g(x)]
即h(x)|d(x)
所以af(x)+bg(x),cf(x)+dg(x)的任意公因式h(x)都是d(x)的因式。
故d(x)是af(x)+bg(x),cf(x)+dg(x)的最大公因式。
所以(af(x)+bg(x),cf(x)+dg(x))=(f(x),g(x)).
再问： 非常感谢老师～
再答： 不客气