问个线性代数题设A是m×n矩阵,R（A）＝r,证明存在秩为r的m×r矩阵B与秩为r的r×n矩阵C使A＝BC

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/23 19:30:45

问个线性代数题
设A是m×n矩阵,R（A）＝r,证明存在秩为r的m×r矩阵B与秩为r的r×n矩阵C使A＝BC

这个叫做矩阵的满秩分解,《矩阵论》上的定理.
证明：
A是m×n矩阵,R（A）＝r,则A一定能通过初等行列变换变成如下矩阵
1 0 0 ...0 0
0 1 0 ...0 0
0 0 1 ...0 0
...
0 0 0 ...0 0
就是左上角是一个r阶单位阵,其余部分都是0的m*n矩阵,记这个矩阵为T.
则A＝PTQ,其中P是m*m的可逆阵,Q是n*n的可你阵.
现在将T分解,B=U*V=
1 0 0 *
0 1 0
0 0 1
...
0 0 0
1 0 0 ...0 0
0 1 0 ...0 0
0 0 1 ...0 0
U是m*r阶矩阵,其中上面是一个r阶单位阵
V是r*n阶矩阵,其中左边是一个r阶单位阵
这样正好T＝U*V
所以A=PUVQ＝（PU）*（VQ）=B*C

问个线性代数题设A是m×n矩阵,R（A）＝r,证明存在秩为r的m×r矩阵B与秩为r的r×n矩阵C使A＝BC 设A是m×n矩阵,R（A）=r,证明存在秩为r的m×n矩阵B与秩为r的r×n矩阵C,使A=BC 设A是m*n矩阵,r(A)=r,证明：存在秩为n-r的n阶矩阵B,使AB=0 设N*M阶矩阵A的秩为R,证明:存在秩为R的N*R阶矩阵P及秩为R的R*M阶矩阵Q,使A=PQ 已知A为m*n阵B为n*m矩阵证明r（AB）≦min{r（A）,r（B）},r表示矩阵的秩设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则（　　）设A是m*n矩阵,B为n×s矩阵,r(A)=r＜n,且AB=0.证明：秩(B)≦n－r 设A为m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,A的秩为r1,B=AC的秩为r,则（） A．r>r1 B．r=r1 C．r 线性代数：设A为m x n矩阵且秩(A)=r的充要条件是设A为m×n矩阵,证明r（A）=1的充分必要条件是存在m×1矩阵α≠0与n≠1矩阵... 线性代数问题：已知矩阵A为m*n,如何证明r(AB)=r(BA)=r(A)?其中B矩阵位A的转置矩阵. 设A为m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为 r1,矩阵B=AC的秩为r,则