A^m=A,证明A与对角矩阵相似
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 22:49:32
A^m=A,证明A与对角矩阵相似
A为复数域上的矩阵,A^m=A,m大于1,求证A与对角矩阵相似
A为复数域上的矩阵,A^m=A,m大于1,求证A与对角矩阵相似
注意到 f (λ) = λ^m - λ = λΠ_{k=0}^{m-2}(λ-ζ_{m-1}^k) 是 A 的 0 化多项式,其中 ζ_{m-1} = exp{2πi/(m-1)}.
而 λ,λ-ζ_{m-1}^k (k=0,1,...,m-2) 两两互素,故 A 对应的变换空间 V 有直和分解
V = Ker A + Ker (A-ζ_{m-1} id_V) + ...+ Ker (A-ζ_{m-1}^{m-2} id_V)
这样就证明了 A 可对角化.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
我们证明了
如果一个有限阶矩阵存在无重根的 0 化多项式,那么这个矩阵可对角化.
------------------------------------------------------------------------
用到的两个事实很简单,
事实 1.如果 (f,k)=(f,h)=1,则 (f,kh) = 1
------------------------------------------------------------------------
事实 2.
如果 fg 是 A 的 0 化多项式,并且 (f,g) = 1 (即互素),那么
V = Ker f(A) + Ker g(A) (直和分解)
并且 Ker f(A) 和 Ker g(A) 都是 A 不变子空间
-------------------------------------------------------------------------
事实 2 的证明
Step 1.Ker f(A) ∩ Ker g(A) = 0
假设 v∈Ker f(A) ∩ Ker g(A)
那么 f(A)v = g(A)v = 0 .(1)
而 (f,g) = 1,故存在多项式 p,q 使得 pf + qg = 1
这样 id_V = p(A)f(A) + q(A)g(A)
两边作用到 v 上再注意到上面的 (1) 式,就有 v = 0,于是 Ker f(A) ∩ Ker g(A) = 0
Step 2.V 可以由 Ker f(A),Ker g(A) 线性张成
同样利用 p,q 的存在性(以及多项式乘法的交换性)
id_V = f(A)p(A) + g(A)q(A)
于是 V = im (id_V) = im (f(A)p(A) + g(A)q(A)) ⊆ Ker f(A) + Ker g(A)
Step 3.Ker f(A) 和 Ker g(A) 都是 A 不变的
设 v∈Ker f(A),则 f(A)v = 0
于是 f(A)(Av) = Af(A)v = A0 = 0
故 Av∈Ker f(A)
对 Ker g(A) 证明类似,主要是用了多项式算子复合可以交换顺序 --- Af(A) = f(A)A
QED
-----------------------------------------------------------------------------------------
这样你就可以先令 f = λ,g=Π_{k=0}^{m-2}(λ-ζ_{m-1}^k).注意到 f 和 g 的每个因子互素,利用事实1,就有 (f,g) = 1
那么这一对 f,g 就可以带入事实 2,对 V 进行第一次直和分解
V = Ker A + Ker Π_{k=0}^{m-2}(A-ζ_{m-1}^k)
然后注意到 Ker Π_{k=0}^{m-2}(A-ζ_{m-1}^k) 是 A 不变的,故 A 限制上去又是一个线性变换,对这个新的线性变换 A_1,
Π_{k=0}^{m-2}(λ-ζ_{m-1}^k) 就是它的 0 化多项式
故同样的手续对 f_1 = λ-ζ_{m-1},g_1=Π_{k=1}^{m-2}(λ-ζ_{m-1}^k) 进行,就有
Ker Π_{k=0}^{m-2}(A-ζ_{m-1}^k) = Ker (A-ζ_{m-1} id_V) + Ker Π_{k=1}^{m-2}(A-ζ_{m-1}^k)
这样依次下去,就把 V 拆成了特征子空间的直和,从而得到 A 可对角化.
而 λ,λ-ζ_{m-1}^k (k=0,1,...,m-2) 两两互素,故 A 对应的变换空间 V 有直和分解
V = Ker A + Ker (A-ζ_{m-1} id_V) + ...+ Ker (A-ζ_{m-1}^{m-2} id_V)
这样就证明了 A 可对角化.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
我们证明了
如果一个有限阶矩阵存在无重根的 0 化多项式,那么这个矩阵可对角化.
------------------------------------------------------------------------
用到的两个事实很简单,
事实 1.如果 (f,k)=(f,h)=1,则 (f,kh) = 1
------------------------------------------------------------------------
事实 2.
如果 fg 是 A 的 0 化多项式,并且 (f,g) = 1 (即互素),那么
V = Ker f(A) + Ker g(A) (直和分解)
并且 Ker f(A) 和 Ker g(A) 都是 A 不变子空间
-------------------------------------------------------------------------
事实 2 的证明
Step 1.Ker f(A) ∩ Ker g(A) = 0
假设 v∈Ker f(A) ∩ Ker g(A)
那么 f(A)v = g(A)v = 0 .(1)
而 (f,g) = 1,故存在多项式 p,q 使得 pf + qg = 1
这样 id_V = p(A)f(A) + q(A)g(A)
两边作用到 v 上再注意到上面的 (1) 式,就有 v = 0,于是 Ker f(A) ∩ Ker g(A) = 0
Step 2.V 可以由 Ker f(A),Ker g(A) 线性张成
同样利用 p,q 的存在性(以及多项式乘法的交换性)
id_V = f(A)p(A) + g(A)q(A)
于是 V = im (id_V) = im (f(A)p(A) + g(A)q(A)) ⊆ Ker f(A) + Ker g(A)
Step 3.Ker f(A) 和 Ker g(A) 都是 A 不变的
设 v∈Ker f(A),则 f(A)v = 0
于是 f(A)(Av) = Af(A)v = A0 = 0
故 Av∈Ker f(A)
对 Ker g(A) 证明类似,主要是用了多项式算子复合可以交换顺序 --- Af(A) = f(A)A
QED
-----------------------------------------------------------------------------------------
这样你就可以先令 f = λ,g=Π_{k=0}^{m-2}(λ-ζ_{m-1}^k).注意到 f 和 g 的每个因子互素,利用事实1,就有 (f,g) = 1
那么这一对 f,g 就可以带入事实 2,对 V 进行第一次直和分解
V = Ker A + Ker Π_{k=0}^{m-2}(A-ζ_{m-1}^k)
然后注意到 Ker Π_{k=0}^{m-2}(A-ζ_{m-1}^k) 是 A 不变的,故 A 限制上去又是一个线性变换,对这个新的线性变换 A_1,
Π_{k=0}^{m-2}(λ-ζ_{m-1}^k) 就是它的 0 化多项式
故同样的手续对 f_1 = λ-ζ_{m-1},g_1=Π_{k=1}^{m-2}(λ-ζ_{m-1}^k) 进行,就有
Ker Π_{k=0}^{m-2}(A-ζ_{m-1}^k) = Ker (A-ζ_{m-1} id_V) + Ker Π_{k=1}^{m-2}(A-ζ_{m-1}^k)
这样依次下去,就把 V 拆成了特征子空间的直和,从而得到 A 可对角化.
A^m=A,证明A与对角矩阵相似
设上三角矩阵A的主对角线上元素互异,证明A能与对角矩阵相似
求教!】A是n阶方阵,A^2=A,证明:A相似于对角矩阵
若存在正整数m,使得A^m=E,这里的E为单位矩阵,A为n阶方阵,证明A相似于对角型矩阵
试证明满足A^m=I的n阶矩阵A(其中m是正整数)相似于对角矩阵.
A是对角矩阵,证明与A可交换的矩阵也为对角矩阵
设n阶矩阵A的n个特征根互异,证明:凡具有AB=BA的矩阵B必与对角矩阵相似.
若A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证明:如果A,B都相似于对角矩阵,则存在可逆矩阵C使C^1AC与C^1BC均为对角矩
已知矩阵A相似与对角矩阵A,求行列式| A-E| 的值
设A为n阶实矩阵,证明:若A^k=E,则A相似于对角阵
关于矩阵性质的证明两个方面.一.一个矩阵与对角阵相似,则该对角阵的对角线元素必为A的特征值二.一个矩阵如果与对角阵相似,
几个高代判断题1、A是m*n矩阵,若秩(A)=0,则A=02、如果n阶矩阵A经出的变换可化为对角矩阵B,则A与B相似3、