设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 07:28:38
设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).
(Ⅰ)求g(x)的单调区间和最小值;
(Ⅱ)讨论g(x)与g(
)
(Ⅰ)求g(x)的单调区间和最小值;
(Ⅱ)讨论g(x)与g(
1 |
x |
(Ⅰ)由题设知f(x)=lnx,g(x)=lnx+
1
x,
∴g'(x)=
x-1
x2,令g′(x)=0得x=1,
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的单调减区间.
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的单调递增区间,
因此,x=1是g(x)的唯一值点,且为极小值点,
从而是最小值点,所以最小值为g(1)=1.
(II)g(
1
x)=-Inx+x
设h(x)=g(x)-g(
1
x)=2lnx-x+
1
x,则h'(x)=-
(x-1)2
x2,
当x=1时,h(1)=0,即g(x)=g(
1
x),
当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(1)<0,
因此,h(x)在(0,+∞)内单调递减,
当0<x<1时,h(x)>h(1)=0,即g(x)>g(
1
x),
当x>1时,h(x)<h(1)=0,即g(x)<g(
1
x).
(III)由(I)知g(x)的最小值为1,
所以,g(a)-g(x)<
1
a,对任意x>0,成立⇔g(a)-1<
1
a,
即Ina<1,从而得0<a<e.
1
x,
∴g'(x)=
x-1
x2,令g′(x)=0得x=1,
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的单调减区间.
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的单调递增区间,
因此,x=1是g(x)的唯一值点,且为极小值点,
从而是最小值点,所以最小值为g(1)=1.
(II)g(
1
x)=-Inx+x
设h(x)=g(x)-g(
1
x)=2lnx-x+
1
x,则h'(x)=-
(x-1)2
x2,
当x=1时,h(1)=0,即g(x)=g(
1
x),
当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(1)<0,
因此,h(x)在(0,+∞)内单调递减,
当0<x<1时,h(x)>h(1)=0,即g(x)>g(
1
x),
当x>1时,h(x)<h(1)=0,即g(x)<g(
1
x).
(III)由(I)知g(x)的最小值为1,
所以,g(a)-g(x)<
1
a,对任意x>0,成立⇔g(a)-1<
1
a,
即Ina<1,从而得0<a<e.
设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).
设f(x)=lnx, 证明f(x)+f(x+1)=f{x(x+1)}
设f′(lnx)=1+x,则f(x)=___.
设函数f(x)=lnx-2ax.
设函数f(x)=px-2lnx.
设函数f(x)=lnx.
已知函数f(x)=lnx+a/x,g(x)=x,F(x)=f(1+e的x次方)-g(x),x属于R
函数f(x)=ax2+2x+1,g(x)=lnx.
已知函数f(x)=lnx,g(x)=x.
设函数f(x)=lnx-px+1
设f(4x)=lnx,求f(x)的导数
设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.