在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 12:15:54

在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足
A,B,C三点满足向量OC=1/3向量OA+2/3向量OB(1)求证:A、B、C三点共线(2)已知A(1,cosx)、B(1+sinx,cosx),x属于[o,π/2],f(x)=向量OA点乘向量OC-(2m^2+2/3)点乘I向量ABI的最小值为1/2,求实数m的值

∵（1）OC=
13OA+
23OB,∴AC=OC-
OA=-23OA+23OB,AB=OB-
OA,…（1分）
∴AB=23AC …（4分）,∴AC∥AB,即A,B,C三点共线． …（5分）
（2）由A(1,cosx),B(1+sinx,cosx),x∈[0,
π2],…（6分）
∵AB=(sinx,0),∴|
AB|=
sin2x=sinx,…（7分）
从而f(x)=
OA•
OC-(2m2+
23)•|
AB|=1+
23sinx+cos2x-(2m2+
23)sinx． …（10分）
又x∈[0,
π2],则sinx∈[0,1],
当0≤m2＜
12时,f（x）的最小值f(
π2)=-(1+m2)2+m4+2=
12．∴m2=
14,∴m=±
12． …（12分）
当m2≥
12时,f（x）的最小值f(0)=-(0+m2)2+m4+2=
12．∴m无解,
综上,m=±
12．