已知数列an的前n项和为sn,且sn+an=n^2+3n+5/2,证明数列{an-n}是等比数列
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 14:38:03
已知数列an的前n项和为sn,且sn+an=n^2+3n+5/2,证明数列{an-n}是等比数列
Sn+an=n^2+3n+5/2 ①
当n=1时,S1+a1=1^2+3*1+5/2=13/2
而S1=a1,所以2a1=13/2,
即a1=13/4,
所以a1-1=9/4;
又S(n-1)+a(n-1)=(n-1)^2+3(n-1)+5/2=n^2-2n+1+3n-3+5/2=n^2+n+1/2 ②
①-②得,Sn+an-S(n-1)-a(n-1)=2n+2
而Sn-S(n-1)=an
所以,2an-a(n-1)=2n+2
即an=1/2a(n-1)+n+1
an-2n=1/2a(n-1)+n+1-2n,
an-2n=1/2a(n-1)-n+1
即an-2n=1/2[a(n-1)-2(n-1)]
∴数列{an-2n}是公比为1/2的等比数列.
当n=1时,S1+a1=1^2+3*1+5/2=13/2
而S1=a1,所以2a1=13/2,
即a1=13/4,
所以a1-1=9/4;
又S(n-1)+a(n-1)=(n-1)^2+3(n-1)+5/2=n^2-2n+1+3n-3+5/2=n^2+n+1/2 ②
①-②得,Sn+an-S(n-1)-a(n-1)=2n+2
而Sn-S(n-1)=an
所以,2an-a(n-1)=2n+2
即an=1/2a(n-1)+n+1
an-2n=1/2a(n-1)+n+1-2n,
an-2n=1/2a(n-1)-n+1
即an-2n=1/2[a(n-1)-2(n-1)]
∴数列{an-2n}是公比为1/2的等比数列.
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