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（2009•临沂一模）如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=12AA1，∠ACB=90°，G为BB1的中点．

来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/12 23:25:52
（2009•临沂一模）如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=
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2
（2009•临沂一模）如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=12AA1，∠ACB=90°，G为BB1的中点．
（I）证明：在直棱柱ABC-A1B1C1中，有A1C1⊥CC1．
∵∠ACB=90°，∴A1C1⊥C1B1，即A1C1⊥平面C1CBB1，
∵CG⊂平面C1CBB1，∴A1C1⊥CG．┉┉┉┉┉┉┉┉（2分）
在矩形C1CBB1中，CC1=BB1=2BC，G为BB1的中点，
CG=
2BC，C1G=
2BC，CC1=2BC
∴∠CGC1=90，即CG⊥C1G┉┉┉┉┉┉┉┉（4分）
而A1C1∩C1G=C1，
∴CG⊥平面A1GC1．
∴平面A1CG⊥平面A1GC1．┉┉┉┉┉┉┉┉（6分）
（II）（法一）由于CC1平面ABC，∠ACB=90°，建立如图所示的空间坐标系，设AC=BC=
1
2CC=a，则A（a，0，0），B（0，a，0）A1（a，0，2a），G（0，a，a）．
∴

CA=（a，0，2a），

CG=（0，a，a）．┉┉┉┉┉┉┉┉（8分）
设平面A1CG的法向量n1=（x1，y1，z1），
由

CG•n1＝0

CA1•n1＝0得

ax1+2az1＝0
ay1+az1＝0
令z1=1，n1=（-2，-1，1）．┉┉┉┉┉┉┉┉（9分）
又平面ABC的法向量为n2=（0，0，1）┉┉┉┉┉┉┉┉（10分）
设平面ABC与平面A1CG所成锐二面角的平面角为θ，
则cosθ＝|
n1•n2
|n1||n2||＝
1

6＝

6
6┉┉┉┉┉┉┉┉（11分）
即平面ABC与平面A1CG所成锐二面角的平面角的余弦值为

6
6．┉┉┉（12分）
（法二）延长A1G、AB相交于P，过A作AF⊥PC交PC延长线于点F，连接A1F
∵AA1⊥平面ABC，AF⊥PC，∴A1F⊥PF
∴∠AFA1为平面ABC与平面A1CG所成二面角的平面角．┉┉┉┉┉┉┉┉（8分）
由（I）知CG⊥A1G，∴△PGC～△PFA1，
设AC=BC=a，∴CG＝
2a，A1G＝GP＝
3a，CP＝
5a
由
CG
A1F＝
CP
A1P，
得A1F＝
CG．A1P
CP＝

2a•2
3a

5＝
2
30a
5┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（10分）AF＝
A1F2−A1A2＝

24
5a2−4a2＝
2
5
5a．
∴cos∠AFA1＝
AF
A1F＝

2
5
5a

2
30
5a＝

6
6．┉┉┉┉┉（12分）
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