[急求]求教2个高中数学中双曲线性质的证明题

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/19 19:47:20

[急求]求教2个高中数学中双曲线性质的证明题
1.设A,B为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=k(a>0,b>0,k>0,k不等于1)上两点,其直线AB与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1相交于P,Q,则AP=BQ.
2.双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=k(a>0,b>0)与直线A*x+B*y+C=0有公共点的充要条件是A^2*a^2-B^1*b^2
回答了本题的人将优先获得成为下面这题最佳答案的权利。

分析：若设线段AB的中点为E,线段PQ的中点为F,若能证明E,F是同一点的话就可以说明AE=BE,PE=QE
而AP=AE-PE BQ=BE-QE
从而得证
设直线AB的直线方程为 y=mx+n（1）线段AB的中点为E,线段PQ的中点为F
（1）代入x^2/a^2-y^2/b^2=k展开整理得
(b^2-a^2*m^2)x^2-2a^2*m*n*x+a^2*m^2-a^2*b^2*k=0
E的横坐标＝(x1+x2)/2=2a^2*m*n/(b^2-a^2*m^2)
(1)代入x^2/a^2-y^2/b^2=1展开整理得
(b^2-a^2*m^2)x^2-2a^2*m*n*x+a^2*m^2-a^2*b^2=0
F的横坐标＝(x1+x2)/2=2a^2*m*n/(b^2-a^2*m^2)
所以E的横坐标与F的横坐标相等即E,F为同一点
所以AE=BE,PE=QE
而AP=AE-PE BQ=BE-QE
从而得证 AP=BQ
(2)Ax+By+C=0 => y=-(Ax+C)/B (1)
(1)代入双曲线方程得
b^2*x^2-a^2[-(Ax+C/B]^2=a^2b^2k
化简整理得
(B^2*b^2-a^2*A^2)x^2-2a^2*A*C*x-(a^2*c^2+a^2*b^2*B^2*k)=0
当B^2*b^2-a^2*A^2＝0时,即二次项系数为零时显然有一个解,
此时A^2*a^2*k-B^2*b^2k=0 =0
不等式两边同除以4a^2并展开整理得
B^2*b^2*c^2+B^4*b^4*k-a^2*A^2*b^2*B^2*k >=0
同除以B^2*b^2得
C^2+B^2*b^2*k-A^2*a^2k >=0
即A^2*a^2*k-B^2*b^2*k

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