神马作文网（2014•临沂三模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在圆C2：x2+（y-5）2=9外，且对C1上任意一点M，M到
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/09/24 18:21:13
（2014•临沂三模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在圆C2：x2+（y-5）2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线y=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．
（Ⅰ）求曲线C1的方程；
（Ⅱ）设P为直线y=-4上的一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，证明：四点A，B，C，D的横坐标之积为定值．
（Ⅰ）求曲线C1的方程；
（Ⅱ）设P为直线y=-4上的一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，证明：四点A，B，C，D的横坐标之积为定值．
（Ⅰ）设点M（x，y），
由已知得|y+2|=
x2+(y−5)2−3，
且圆C2上的点位于直线y=-2的上方，
于是y+2＞0，
∴
x2+(y−5)2＝y+5，
化简得曲线C1的方程为：x2=20y．
（Ⅱ）证明：当点P在直线y=-4上运动时，设P（x0，-4），
由题意知x0≠±3，过P且于圆C2相切的直线的斜率存在，
每条切线都与抛物线有两个交点，
切线方程为y+4=k（x-x0），即kx-y-kx0-4=0，
∴
|−5−kx0−4|
k2+1＝3，
整理，得(x02−9)k2+18x0k+72＝0，①
设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，
则k1，k2是方程①的两个实根，
∴k1+k2＝−
18x0
x02−9，k1k2＝−
72
x02−9，②
由
k1x−y−k
由已知得|y+2|=
x2+(y−5)2−3，
且圆C2上的点位于直线y=-2的上方，
于是y+2＞0，
∴
x2+(y−5)2＝y+5，
化简得曲线C1的方程为：x2=20y．
（Ⅱ）证明：当点P在直线y=-4上运动时，设P（x0，-4），
由题意知x0≠±3，过P且于圆C2相切的直线的斜率存在，
每条切线都与抛物线有两个交点，
切线方程为y+4=k（x-x0），即kx-y-kx0-4=0，
∴
|−5−kx0−4|
k2+1＝3，
整理，得(x02−9)k2+18x0k+72＝0，①
设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，
则k1，k2是方程①的两个实根，
∴k1+k2＝−
18x0
x02−9，k1k2＝−
72
x02−9，②
由
k1x−y−k
（2014•临沂三模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在圆C2：x2+（y-5）2=9外，且对C1上任意一点M，M到
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