已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足:①∀x,y∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(x•y)=f(x)
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/02 14:35:41
已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足:①∀x,y∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(x•y)=f(x)+f(y);②当x>1时,f(x>0),且f(2)=1.
(1)试判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(3)求函数f(x)在区间[-4,0)∪(0,4]上的最大值;
(4)求不等式f(3x-2)+f(x)≥4的解集.
(1)试判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(3)求函数f(x)在区间[-4,0)∪(0,4]上的最大值;
(4)求不等式f(3x-2)+f(x)≥4的解集.
(1)令x=y=1,则f(1×1)=f(1)+f(1),得f(1)=0;
再令x=y=-1,则f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1),得f(-1)=0.
对于条件f(x•y)=f(x)+f(y),令y=-1,
则f(-x)=f(x)+f(-1),所以f(-x)=f(x).
又函数f(x)的定义域关于原点对称,所以函数f(x)为偶函数.(3分)
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则有
x2
x1>1.
又∵当x>1时,f(x)>0,
∴f(
x2
x1>0.)
而f(x2)=f(x1•
x2
x1)=f(x1)+f(
x2
x1)>f(x1),
所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.(6分)
(3)∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2),又f(2)=1,
∴f(4)=2.
又由(1)知函数f(x)在区间[-4,0)∪(0,4]上是偶函数且在(0,4]上是增函数,
∴函数f(x)在区间[-4,0)∪(0,4]上的最大值为f(4)=f(-4)=2(9分)
(4)∵f(3x-2)+f(x)=f[x(3x-2)],4=2+2=f(4)+f(4)=f(16)
∴原不等式等价于f[x(3x-2)]≥f(16)
又函数f(x)为偶函数,且函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴原不等式又等价于|x(3x-2)|≥16,
即x(3x-2)≥16或x(3x-2)≤-16,
∴不等式f(3x-2)+f(x)≥4的解集为{x|x≤−2,或x≥
8
3}(12分)
再令x=y=-1,则f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1),得f(-1)=0.
对于条件f(x•y)=f(x)+f(y),令y=-1,
则f(-x)=f(x)+f(-1),所以f(-x)=f(x).
又函数f(x)的定义域关于原点对称,所以函数f(x)为偶函数.(3分)
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则有
x2
x1>1.
又∵当x>1时,f(x)>0,
∴f(
x2
x1>0.)
而f(x2)=f(x1•
x2
x1)=f(x1)+f(
x2
x1)>f(x1),
所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.(6分)
(3)∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2),又f(2)=1,
∴f(4)=2.
又由(1)知函数f(x)在区间[-4,0)∪(0,4]上是偶函数且在(0,4]上是增函数,
∴函数f(x)在区间[-4,0)∪(0,4]上的最大值为f(4)=f(-4)=2(9分)
(4)∵f(3x-2)+f(x)=f[x(3x-2)],4=2+2=f(4)+f(4)=f(16)
∴原不等式等价于f[x(3x-2)]≥f(16)
又函数f(x)为偶函数,且函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴原不等式又等价于|x(3x-2)|≥16,
即x(3x-2)≥16或x(3x-2)≤-16,
∴不等式f(3x-2)+f(x)≥4的解集为{x|x≤−2,或x≥
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3}(12分)
已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足:①∀x,y∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(x•y)=f(x)
已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(4)=1,
已知定义在R上的函数y=f(x)满足:f(x)+f(y)=f(x+y),f(2)=1,f(x)在区间(0,+∞)上是
已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y) f(2)=1
已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1 求不等式f(x)-f(x
函数Y=f(x)是定义在0,+∞上的减函数满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1 求f(x)+f(2-x)
若函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x>0,y>0,满足f(x/y)=f(x)-f(y)(1)求f(x
已知定义在R上的函数f(x),满足对于任意的x、y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)+1.还满足当x>0时 f(x)
已知定义在(0,+∞)上的函数f(x),满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/2)=1,对于x、y∈ (0,+∞)
设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(13)=1
已知定义在集合(0,+∞)的函数y=f(x)满足条件:对于任意的x,y∈(0,+∞),f(x.y)=f(x)+f(y),
一道高一函数题,定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)*f(y),且当x>1,f(x)<0 1.证