已知函数f（x）=a（x2-1）-xlnx．

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/25 03:29:36

已知函数f（x）=a（x²-1）-xlnx．
（I）当a＝

时，求函数f(x)

（Ⅰ）当a＝
1
2时，f(x)＝
1
2(x2−1)−xlnx，所以f′（x）=x-lnx-1．
函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
设g（x）=x-lnx-1，则g′（x）=1-
1
x．
令g′（x）=0，得x=1．
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）是增函数．
函数g（x）的最小值为g（1）=0．
所以g（x）=f′（x）≥0（仅当x=1时取等号），f（x）在（0，+∞）是增函数．
（Ⅱ）由函数f（x）=a（x²-1）-xlnx，则f′（x）=2ax-lnx-1．
（1）若a≥
1
2，则由（Ⅰ）知，f′（x）=（2a-1）x+（x-lnx-1）＞0，f（x）是增函数，
此时f（x）≥f（1）=0，不等式恒成立．
（2）若0＜a＜
1
2，设h（x）=2ax-lnx-1，h′（x）=2a-
1
x．
当x∈（1，
1
2a）时，h′（x）＜0，函数h（x）是减函数．
则f′（x）=h（x）＜h（1）=2a-1＜0，f（x）在（1，
1
2a）是减函数．
这时f（x）＜f（1）=0，不等式不成立．
（3）若a≤0时，则当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）是减函数，
此时f（x）＜f（1）=0，不等式不成立．
综上所述，a的取值范围是[
1
2，+∞）．

已知函数f（x）=a（x2-1）-xlnx．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3．已知函数f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．已知函数f（x）=xlnx 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3，已知函数f（x）=xlnx．（2014•红桥区二模）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x2+ax-3）ex（a为实数）．已知函数f（x）=ax2+x-xlnx，已知函数f（x）=xlnx，求函数f（x）的最小值．已知函数f(x)=xlnx,g(x)=ax²-a（a∈R）已知函数f（x）=ax+a－1+xlnx,求f（x）的单调区间（2015四川）已知函数f（x）=-2xlnx+x2-2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨