(2011•江苏二模)已知m,n∈R,且m+2n=2,则m•2m+n•22n+1的最小值为______.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/21 03:29:13
(2011•江苏二模)已知m,n∈R,且m+2n=2,则m•2m+n•22n+1的最小值为______.
∵2n=2-m
∴f(m)=m•2m+n•22n+1=m•2m+(2-m)•22-m
令g(m)=m•2m,h(m)=(2-m)•22-m
当m≤0时,h(m)为增函数,且h(m)≥h(0)=8
g(m)=-|m|•2-|m|由于从y=x与y=2x的图象易知,|m|≤2|m|,所以|m|•2-|m|≤1,
g(m)=-|m|•2-|m|≥-1
f(m)=g(m)+h(m)≥-1+8=7
当m≥2时,由g(m)与h(m)关于x=1对称,同上可得f(m)≥7
当 0<m<2时,g(0)=h(2)=0,g(2)=h(0)=8
g'(m)=(mln2+1)2m>0,h'(m)=-[(2-m)ln2+1]22-m<0 且g'(m),h'(m)均为单调递增
当0<m<1时,g'(m)<g'(1)=2(ln2+1),h'(m)<h(1)=-2(2ln2+1),
f′(m)=g'(m)+h'(m)<0单调递减
当1≤m<2时,同理,可得f′(m)=g'(m)+h'(m)≥g'(1)+h'(1)=0单调递增(当m=1时等号成立)
所以当m=1时,f(m)取最小值,
即当m=1,n=
1
2时,m•2m+n•22n+1的最小值为4
故答案为:4
∴f(m)=m•2m+n•22n+1=m•2m+(2-m)•22-m
令g(m)=m•2m,h(m)=(2-m)•22-m
当m≤0时,h(m)为增函数,且h(m)≥h(0)=8
g(m)=-|m|•2-|m|由于从y=x与y=2x的图象易知,|m|≤2|m|,所以|m|•2-|m|≤1,
g(m)=-|m|•2-|m|≥-1
f(m)=g(m)+h(m)≥-1+8=7
当m≥2时,由g(m)与h(m)关于x=1对称,同上可得f(m)≥7
当 0<m<2时,g(0)=h(2)=0,g(2)=h(0)=8
g'(m)=(mln2+1)2m>0,h'(m)=-[(2-m)ln2+1]22-m<0 且g'(m),h'(m)均为单调递增
当0<m<1时,g'(m)<g'(1)=2(ln2+1),h'(m)<h(1)=-2(2ln2+1),
f′(m)=g'(m)+h'(m)<0单调递减
当1≤m<2时,同理,可得f′(m)=g'(m)+h'(m)≥g'(1)+h'(1)=0单调递增(当m=1时等号成立)
所以当m=1时,f(m)取最小值,
即当m=1,n=
1
2时,m•2m+n•22n+1的最小值为4
故答案为:4
(2011•江苏二模)已知m,n∈R,且m+2n=2,则m•2m+n•22n+1的最小值为______.
已知m>0 n>0 且2m+n=1,则1/m+2/n的最小值为
已知m,n,p都是整数,且|m-n|+|p-m|=1,则|p-m|+|m-n|+3(n-p)2=______.
已知m,n,p都整数,且|m-n|3+|p-m|5=1,则|p-m|+|m-n|+2|n-p|=______.
以知m,n为实数,且m+2n=2,则m*2^m+n*2^(2n+1)的最小值是多少?(最好有详解~)
已知m ,n均为正整数且满足(4m/3 )-75=n+(2m/9)则当m=( )时,n取得最小值( )
已知0≤m-n≤2,2≤m+n≤4,则当m-2n达到最小值时,3m+4n=______.
已知向量a=(1,2n),b=(m+n,m)(m>0,n>0),若a•b=1,则m+n的最小值为( )
已知m,n为正整数,且(16×2m-n)×(5m+n×25)=1000000,求3m+2n的值.
已知2m+n=1,其中m,n均为正数,则1m+2n的最小值为( )
已知log2(2m-4)+log2(n-4)=3,则m+n的最小值为 ___ .
若m,n为实数,且|2m+n-1|+根号下m-2n-8=0,则(m+n)的2013次方的值为