神马作文网洛必达定理条件请问F'(x)不等于0是指在整个去心邻域内每个点都不等于0还是指不恒等于0（有限个点可以等于0）?
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/18 04:52:51
洛必达定理条件
请问F'(x)不等于0是指在整个去心邻域内每个点都不等于0还是指不恒等于0（有限个点可以等于0）?如果是前者,那我是否就可以把F'(x)不等于0条件修改为F（x)不为常数?注：经常遇到条件形如f(x)不等于0,到底是什么情况下理解为每个点都不等于0,什么情况下又是指不恒等于0啊?
像这个这个不等于0指每个点都不等于0还是指不恒等于0？
请问F'(x)不等于0是指在整个去心邻域内每个点都不等于0还是指不恒等于0（有限个点可以等于0）?如果是前者,那我是否就可以把F'(x)不等于0条件修改为F（x)不为常数?注：经常遇到条件形如f(x)不等于0,到底是什么情况下理解为每个点都不等于0,什么情况下又是指不恒等于0啊?
像这个这个不等于0指每个点都不等于0还是指不恒等于0？
就这两处来说都是指恒不等于0 (处处非0).
个人感觉这种情况相对常见,不过保险起见还是参考上下文.
对前一个例子,为使比值f'(x)/F'(x)在a的某个去心邻域上处处有定义(这是极限存在的前提),
就要求F'(x)在a的某个去心邻域上恒不等于0.
对后一个例子,ψ'(t)恒不等于0在ψ(t)单调的前提下保证了ψ(t)反函数存在且处处可导.
这应该会在证明中用到.
"不恒等于0"作为条件是相当弱的,不止可以有有限个点得0,还可以在部分区间上恒为0.
例如函数sin(1/x)+|sin(1/x)|就在0的任意去心邻域内不恒等于0,
但同时又在其中的某些区间上恒为0.
所以如果不清楚如何理解,可以用在某区间上得0的例子尝试一下.
对于后一个例子ψ(t)就会出现局部常值,不可逆从而使等式失去意义.
一般来说,要用f(x) ≠ 0来表示不恒等于0需要一个背景.
首先是要把函数整体作为研究对象,而不是只关心函数值.
其次这里0表示的是恒为0的常数函数,而不只是一个数.
此时这里的(不)等式表示的是函数的(不)相等.
有的地方会写f ≠ 0来表达这个意思,可以更明显的理解为作为映射的不等.
没有这样的背景的话还是写f(x)不恒为0比较常见.
再问： 后一个例子，我可以理解为为了使ψ(t)处处存在反函数，且反函数处处可导，所以才要恒不等于0吗？另外：ψ(t)在有限个点处导数为0，不一定在局部就会出现常值啊
再答： 是这个意思. 只是一般不说"处处存在反函数", 因为在某点存在反函数没什么意义. 实际上, 在这个条件下, 反函数是整体存在的.
再问： 例如曲线积分
这个等式也是恒不为0意思吗？我觉得在有限个t处使这个等式为0应该是可以的？
再答： 这也是恒不为0. 这个条件保证了(φ'(t),ψ'(t))给出切向量, 是一个曲线光滑性条件. 参考例子: 曲线L: y = |x|可以由φ(t) = t·|t|, ψ(t) = t²参数化. φ(t), ψ(t)有连续导数, 当且仅当t = 0时成立φ'(t) = ψ'(t) = 0. 而曲线L在(0,0)处不存在切线. 去掉或减弱这个条件可能导致曲线的性状改变. 虽然仍可以讨论曲线积分(例如对分段光滑曲线), 但可能带来一些麻烦. 话说回来, 即便允许有限次取0, 也不说明可以将条件减弱为不恒为0. 因为不恒为0也可以无限次取0, 甚至在某些区间上恒等于0.
再问： 厉害！对于前一个例子，“ψ(t)在有限个点处导数为0”时，实际上在这个条件下, 反函数已经是整体存在了，但是为了使反函数处处可导，所以条件还必须加强为ψ(t)处处导数不为0，理解正确吧。。。
再答： 嗯, 理解正确.
个人感觉这种情况相对常见,不过保险起见还是参考上下文.
对前一个例子,为使比值f'(x)/F'(x)在a的某个去心邻域上处处有定义(这是极限存在的前提),
就要求F'(x)在a的某个去心邻域上恒不等于0.
对后一个例子,ψ'(t)恒不等于0在ψ(t)单调的前提下保证了ψ(t)反函数存在且处处可导.
这应该会在证明中用到.
"不恒等于0"作为条件是相当弱的,不止可以有有限个点得0,还可以在部分区间上恒为0.
例如函数sin(1/x)+|sin(1/x)|就在0的任意去心邻域内不恒等于0,
但同时又在其中的某些区间上恒为0.
所以如果不清楚如何理解,可以用在某区间上得0的例子尝试一下.
对于后一个例子ψ(t)就会出现局部常值,不可逆从而使等式失去意义.
一般来说,要用f(x) ≠ 0来表示不恒等于0需要一个背景.
首先是要把函数整体作为研究对象,而不是只关心函数值.
其次这里0表示的是恒为0的常数函数,而不只是一个数.
此时这里的(不)等式表示的是函数的(不)相等.
有的地方会写f ≠ 0来表达这个意思,可以更明显的理解为作为映射的不等.
没有这样的背景的话还是写f(x)不恒为0比较常见.
再问： 后一个例子，我可以理解为为了使ψ(t)处处存在反函数，且反函数处处可导，所以才要恒不等于0吗？另外：ψ(t)在有限个点处导数为0，不一定在局部就会出现常值啊
再答： 是这个意思. 只是一般不说"处处存在反函数", 因为在某点存在反函数没什么意义. 实际上, 在这个条件下, 反函数是整体存在的.
再问： 例如曲线积分
这个等式也是恒不为0意思吗？我觉得在有限个t处使这个等式为0应该是可以的？再答： 这也是恒不为0. 这个条件保证了(φ'(t),ψ'(t))给出切向量, 是一个曲线光滑性条件. 参考例子: 曲线L: y = |x|可以由φ(t) = t·|t|, ψ(t) = t²参数化. φ(t), ψ(t)有连续导数, 当且仅当t = 0时成立φ'(t) = ψ'(t) = 0. 而曲线L在(0,0)处不存在切线. 去掉或减弱这个条件可能导致曲线的性状改变. 虽然仍可以讨论曲线积分(例如对分段光滑曲线), 但可能带来一些麻烦. 话说回来, 即便允许有限次取0, 也不说明可以将条件减弱为不恒为0. 因为不恒为0也可以无限次取0, 甚至在某些区间上恒等于0.
再问： 厉害！对于前一个例子，“ψ(t)在有限个点处导数为0”时，实际上在这个条件下, 反函数已经是整体存在了，但是为了使反函数处处可导，所以条件还必须加强为ψ(t)处处导数不为0，理解正确吧。。。
再答： 嗯, 理解正确.
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