若不等式t/(t²+2)≤a≤(t+2)/t²,在t∈﹙0,2]上恒成立,则a的取值范围是?求详解
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 10:31:05
若不等式t/(t²+2)≤a≤(t+2)/t²,在t∈﹙0,2]上恒成立,则a的取值范围是?求详解
令f(t)=t/(t²+2),g(t)=(t+2)/t²,t∈﹙0,2]
则不等式 f(t)≤a≤g(t),在t∈﹙0,2]上恒成立,等价于
[f(t)]max≤a≤[g(t)]min,t∈﹙0,2]
因为f(t)=t/(t²+2)=1/(t+2/t)≤1/[2√(t•2/t)]=1/(2√2)=√2/4,
所以,当且仅当 t=2/t,即t=√2时,f(t)有最大值为√2/4;
又 g(t)=(t+2)/t²=1/t+2/t² 在t∈﹙0,2]是减函数,从而最小值为g(2)=1
所以 √2/4≤a≤1
a的取值范围是[√2/4,1]
再问: 为什么g(t)=(t+2)/t²=1/t+2/t² 在t∈﹙0,2]是减函数?
再答: 三种方法。 (1)直接观察。由于g(t)=1/t+2/t²中,t是正数且在分母上,所以t越大,g(t)越小。 (2)用单调性定义。有点麻烦。 (3)求导。g'(x)=-1/t² -4/t³
则不等式 f(t)≤a≤g(t),在t∈﹙0,2]上恒成立,等价于
[f(t)]max≤a≤[g(t)]min,t∈﹙0,2]
因为f(t)=t/(t²+2)=1/(t+2/t)≤1/[2√(t•2/t)]=1/(2√2)=√2/4,
所以,当且仅当 t=2/t,即t=√2时,f(t)有最大值为√2/4;
又 g(t)=(t+2)/t²=1/t+2/t² 在t∈﹙0,2]是减函数,从而最小值为g(2)=1
所以 √2/4≤a≤1
a的取值范围是[√2/4,1]
再问: 为什么g(t)=(t+2)/t²=1/t+2/t² 在t∈﹙0,2]是减函数?
再答: 三种方法。 (1)直接观察。由于g(t)=1/t+2/t²中,t是正数且在分母上,所以t越大,g(t)越小。 (2)用单调性定义。有点麻烦。 (3)求导。g'(x)=-1/t² -4/t³
若不等式t/(t²+2)≤a≤(t+2)/t²,在t∈﹙0,2]上恒成立,则a的取值范围是?求详解
若不等式t/t^2+9≤a≤t+2/t^2在t属于(0,2] 上恒成立,求a的取值范围
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设函数f(x)=x2+2x+alnx,当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,则实数a的取值范围是___
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对于不等式1/8(2t-t^2)≤x^2-3x+2≤3-t^2,试求对x∈[0,2]都成立的实数t的取值范围
当0≤x≤2时,不等式1/8(2t-t)≤x-3x+2≤3-t恒成立,求t的取值范围?
当0≤x≤2时,不等式x^2-3x+2≤3-t^2恒成立,求t的取值范围
不等式恒成立问题,m属于(0.5,2)t^2-mt>m-1恒成立,求t的取值范围.