如图所示,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CB=AA1=2,∠ACB=90°,E为BB1的中点,D∈AB,∠A

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/25 05:21:23

如图所示,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CB=AA1=2,∠ACB=90°,E为BB1的中点,D∈AB,∠A1DE=90°
（1）求证：CD⊥平面ABB1A1
（2）求二面角D-A1C-A的余弦值

（注：题目中并没有讲D是AB中点）

（1）只要证明D是AB中点问题就解决了,因为中点的话CD垂直AB,CD又垂直AA1,得证.
下面证明AD=BD：假设AD=x,则BD=2√2-x,（由已知条件,ACB为等腰直角三角形,勾股定理得）
同理已知A1B1=AB=2√2,B1E=BE=1,用勾股定理列方程：
在直角三角形A1DE中,（A1D)^2=4+x^2,DE^2=(2√2-x)^2+1,A1E^2=8+1=9
(A1D)^2+(DE)^2=(A1E)^2,解方程得x=√2,
所以AD=BD=√2.
(2) 取A1C的中点P,得AP=√2,AP垂直A1C.
过A作A1D的垂线,垂足为H,可用面积法求得AH=2√2/√6=2√3/3
则AH垂直A1D,AH垂直CD（因为CD垂直平面ABA1B1）,所以AH垂直面A1CD,所以AH垂直A1C
上面已得AP垂直A1C,AH垂直A1C,所以角APH就是所求角.
直角三角形APH中AP、AH已知,自己求角APH的余弦吧孩纸~...
（PS：太久没做高中的数学题了,挺怀念的,好好珍惜你的高中生活吧,少年啊!）