设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 17:16:30

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件
（1）当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;
（2）当x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)/2)2;
（3） f(x)在R上的最小值为0.
求最大的m(m＞1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.

因为f(x)在R上的最小值为0
即a＞0,Δ1=0则b²-4ac=0…………. ①
而当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;
所以设对称轴X0,则X0=（x-4+2-x)/2=-1
则-b/2a=-1 即b=2a. ②
而f(x)≥x,所以ax²+（b-1）x+c≥0横成立,而a＞0
则Δ2≤0
（b-1）²-4ac≤0
当x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)/2)²;
而f(x)≥x,当x=1时
所以1≤f(1)≤1,则f(1)=1
即a+b+c=1,所以c=1-（a+b）……………………..③
由①②③联立方程组得
a= 1/4 b= 1/2 c=1/4
所以f(x)= 1/4x²+1/2x+1/4
接下来讨论对称轴就可以了
我大致算了一下M最大值可能是5

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