神马作文网三角形四心的组合的性质证明
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/16 15:09:44
三角形四心的组合的性质证明
1.三角形的任何顶点到垂心的距离,等于外心到对边距离的两倍.
2.三角形的内心和任一顶点的连线平分外心、垂心和这一顶点连线所成的角.
3.三角形的外心、垂心、重心三个点在一条直线上（需证明）,且重心与垂心的距离是外心与重心距离的2倍.
三个命题（其实是4个）都帮我证明下,有图最好,如果没有图端点一定要说清楚,
1.三角形的任何顶点到垂心的距离,等于外心到对边距离的两倍.
2.三角形的内心和任一顶点的连线平分外心、垂心和这一顶点连线所成的角.
3.三角形的外心、垂心、重心三个点在一条直线上（需证明）,且重心与垂心的距离是外心与重心距离的2倍.
三个命题（其实是4个）都帮我证明下,有图最好,如果没有图端点一定要说清楚,
1:
画任意一个三角形ABC,垂心为D,外心为E,设B垂AC于F,
C垂AB于H,做△ABC的外接圆,ABC为三顶点abc为三内角
S为△ABC的面积
由正弦定理AB/sinc=BC/sina=AC/sinb=2R
由图像得∠c=∠BEH
∴EH=Rcosc=AB/(2tanc)
CD=CF/cos∠ACH=BCcosc/(CH/AC)=AC*BC*cosc/CH
AC*BCsinc/2=S=AB*CH/2
代入上式得CD=AB/tanc=2DH
∴命题得证
画任意一个三角形ABC,垂心为D,外心为E,设B垂AC于F,
C垂AB于H,做△ABC的外接圆,ABC为三顶点abc为三内角
S为△ABC的面积
由正弦定理AB/sinc=BC/sina=AC/sinb=2R
由图像得∠c=∠BEH
∴EH=Rcosc=AB/(2tanc)
CD=CF/cos∠ACH=BCcosc/(CH/AC)=AC*BC*cosc/CH
AC*BCsinc/2=S=AB*CH/2
代入上式得CD=AB/tanc=2DH
∴命题得证