（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/23 16:32:00

（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

（1）∵抛物线y=ax²+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），
∴

a+b+3＝0
16a+4b+3＝3，
解得

a＝1
b＝−4，
所以，抛物线的解析式为y=x²-4x+3；
（2）∵点A、B关于对称轴对称，
∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

k+b＝0
4k+b＝3，
解得

k＝1
b＝−1，
所以，直线AC的解析式为y=x-1，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当x=2时，y=2-1=1，
∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；