一道平面向量题设向量a、向量b不共线,则关于x的方程ax^2+bx+c=0的解的情况(a、b、c、0都是向量)至多有一个
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 12:16:47
一道平面向量题
设向量a、向量b不共线,则关于x的方程ax^2+bx+c=0的解的情况(a、b、c、0都是向量)
至多有一个实数解
设向量a、向量b不共线,则关于x的方程ax^2+bx+c=0的解的情况(a、b、c、0都是向量)
至多有一个实数解
同学,用代数法给你解一解
向量a、b不共线,因此它们都是非零向量(因为零向量与任何向量共线)
设a=(m,n),b=(p,q),c=(s,t),这里m、n、p、q、s、t∈R,且m与n、p与q不能同时为零;0=(0,0).
代入向量方程:(m,n)x^2+(p,q),x+(s,t)=(0,0),即:
(mx^2+px+s,nx^2+qx+t)=(0,0)
因此原向量方程等价于一个一元二次代数方程组:
mx^2+px+s=0 …………………………………………(1)
nx^2+qx+t=0 …………………………………………(2)
由一元二次方程的性质可知:
1、方程(1)、(2)最多分别有两个实数解,
2、方程组的实数解也最多是两个,
现假设方程组有两个实数解,则意味着方程(1)与(2)的实数解都相同,
那么这两个方程是等价的,即存在非零实数k,使得:
nx^2+qx+t≡k(mx^2+px+s)
则要求:km=n,kp=q ==> m/p=n/q,设m/p=n/q=r
r=0时,m=n=0,a是零向量,矛盾.
r≠0时,m=rp,n=rq,即(m,n)=r(p,q),可知向量a、b共线,矛盾.
因此假设不成立,原方程至多有一个实数解.
向量a、b不共线,因此它们都是非零向量(因为零向量与任何向量共线)
设a=(m,n),b=(p,q),c=(s,t),这里m、n、p、q、s、t∈R,且m与n、p与q不能同时为零;0=(0,0).
代入向量方程:(m,n)x^2+(p,q),x+(s,t)=(0,0),即:
(mx^2+px+s,nx^2+qx+t)=(0,0)
因此原向量方程等价于一个一元二次代数方程组:
mx^2+px+s=0 …………………………………………(1)
nx^2+qx+t=0 …………………………………………(2)
由一元二次方程的性质可知:
1、方程(1)、(2)最多分别有两个实数解,
2、方程组的实数解也最多是两个,
现假设方程组有两个实数解,则意味着方程(1)与(2)的实数解都相同,
那么这两个方程是等价的,即存在非零实数k,使得:
nx^2+qx+t≡k(mx^2+px+s)
则要求:km=n,kp=q ==> m/p=n/q,设m/p=n/q=r
r=0时,m=n=0,a是零向量,矛盾.
r≠0时,m=rp,n=rq,即(m,n)=r(p,q),可知向量a、b共线,矛盾.
因此假设不成立,原方程至多有一个实数解.
一道平面向量题设向量a、向量b不共线,则关于x的方程ax^2+bx+c=0的解的情况(a、b、c、0都是向量)至多有一个
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