(2013•成都模拟)已知函数y=f(x),x∈N*,y∈N*,满足:①对任意a,b∈N*,a≠b,都有af(a)+bf
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/12 04:30:17
(2013•成都模拟)已知函数y=f(x),x∈N*,y∈N*,满足:①对任意a,b∈N*,a≠b,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a);②对任意n∈N*都有f[f(n)]=3n.
(I)试证明:f(x)为N*上的单调增函数;
(II)求f(1)+f(6)+f(28);
(III)令an=f(3n),n∈N*,试证明:.
≤
(I)试证明:f(x)为N*上的单调增函数;
(II)求f(1)+f(6)+f(28);
(III)令an=f(3n),n∈N*,试证明:.
n |
4n+2 |
1 |
a
(I)由①知,对任意a,b∈N*,a<b,都有(a-b)(f(a)-f(b))>0,
由于a-b<0,从而f(a)<f(b), 所以函数f(x)为N*上的单调增函数. (II)令f(1)=a,则a≥1,显然a≠1,否则f(f(1))=f(1)=1,与f(f(1))=3矛盾. 从而a>1,而由f(f(1))=3, 即得f(a)=3. 又由(I)知f(a)>f(1)=a,即a<3. 于是得1<a<3,又a∈N*, 从而a=2,即f(1)=2. 进而由f(a)=3知,f(2)=3. 于是f(3)=f(f(2))=3×2=6, f(6)=f(f(3))=3×3=9, f(9)=f(f(6))=3×6=18, f(18)=f(f(9))=3×9=27, f(27)=f(f(18))=3×18=54, f(54)=f(f(27))=3×27=81, 由于54-27=81-54=27, 而且由(I)知,函数f(x)为单调增函数, 因此f(28)=54+1=55. 从而f(1)+f(6)+f(28)=2+9+55=66. (III)f(an)=f(f(3n))=3×3n=3n+1,an+1=f(3n+1)=f(f(an))=3an,a1=f(3)=6. 即数列{an}是以6为首项,以3为公比的等比数列. ∴an=6×3n-1=2×3n(n=1,2,3). 于是 1 a1+ 1 a2++ 1 an= 1 2( 1 3+ 1 32++ 1 3n)= 1 2× 1 3(1− 1 3n) 1− 1 3= 1 4(1− 1 3n), 显然 1 4(1− 1 3n)< 1 4, 另一方面3n=(1+2)n=1+Cn1×2+Cn2×22++Cnn×2n≥1+2n, 从而 1 4(1− 1 3n)≥ 1 4(1− 1 2n+1)= n 4n+2. 综上所述, n 4n+2≤ 1 a1+ 1 a2++ 1 an< 1 4.
(2013•成都模拟)已知函数y=f(x),x∈N*,y∈N*,满足:①对任意a,b∈N*,a≠b,都有af(a)+bf
(2013•成都模拟)已知函数y=f(x),x∈N*,y∈N*,满足:①对任意a,b∈N*,a≠b,都有af
已知函数y=f(x).(x、y∈N+),满足(1)对任意a、b∈N+,a≠b都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf
已知函数y=f(x),满足:对任意a,b∈R,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a).(1)试证明:f(x)
已知函数y=f(x),满足:对任意a,b∈R,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a).试证明:f(x)为R上
已知函数f(x)满足:对任意实数a,b有f(ab)=af(b)+bf(a),且绝对值f(x)
已知函数y=f(x),x∈N*,y∈N*,对任意n∈N*都有f[f(n)]=3n,且f(x)是增函数,则f(3)=___
已知函数f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a)
已知实数a、b、x、y满足对任意正整数n,均有ax&n+by&n=1+2&(n+1).试确定(并予证明)x&a+y&b的
已知y=f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R,都满足:f(a•b)=af(b)+bf(a).
已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a) (1)求f(0
已知函数y=f(x),对于任意实数a,b.都有f(ab)=af(b)+bf(a)成立.
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