高等代数多项式证明,若p(x)为不可约多项式,p(x)不整除g(x),证明p(x)不整除g(x)p'(x)!
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 22:32:30
高等代数多项式证明,
若p(x)为不可约多项式,p(x)不整除g(x),证明p(x)不整除g(x)p'(x)!
若p(x)为不可约多项式,p(x)不整除g(x),证明p(x)不整除g(x)p'(x)!
注意到,K[x]中的不可约多项式p(x)与任一多项式f(x)只存在两种关系:p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1
因为p(x)不整除g(x),且显然有p(x)不整除p'(x)
所以(p(x),g(x))=1、(p(x),p'(x))=1
从而存在u1(x)、v1(x)、u2(x)、v2(x),使得
u1(x)p(x)+v1(x)g(x)=1……(1)
u2(x)p(x)+v2(x)p'(x)=1……(2)
(1)乘(2),得
u1u2p^2+u1v2pp'+u2v1pg+v1v2gp'=(u1u2p+u1v2p'+u2v1g)p+(v1v2)gp'=1
所以p(x)与g(x)p'(x)互素,从而p(x)不整除g(x)p'(x)
因为p(x)不整除g(x),且显然有p(x)不整除p'(x)
所以(p(x),g(x))=1、(p(x),p'(x))=1
从而存在u1(x)、v1(x)、u2(x)、v2(x),使得
u1(x)p(x)+v1(x)g(x)=1……(1)
u2(x)p(x)+v2(x)p'(x)=1……(2)
(1)乘(2),得
u1u2p^2+u1v2pp'+u2v1pg+v1v2gp'=(u1u2p+u1v2p'+u2v1g)p+(v1v2)gp'=1
所以p(x)与g(x)p'(x)互素,从而p(x)不整除g(x)p'(x)
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