已知三角形中,两角的角平分线长相等,求证等腰△

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/19 18:49:01

已知三角形中,两角的角平分线长相等,求证等腰△
已知某个三角形中,两内角的角平分线长相等,求证这个三角形是等腰三角形.即：在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于D,CE平分∠ACB交AB于E,并且满足CE=BD,求证AB=AC.
这是否是一个真命题?如何证明?
另外,斯坦纳定理是什么?

我先证明一个定理（这个定理对非等腰三角形也适用）
在△ABC中 AD为角平分线
那么 AD²=AB×AC-BD×CD
(不好意思我这个圆有点变态.)
证明：
延长AD交其外接圆于P连结CP
∠P=∠B 而∠CAP=∠DAB
所以△ABD∽△APC
所以AB/AD=AP/AC
即AB×AC=AD×AP
而AD×AP=AD×（AD+DP）=AD²+AD*DP=AD²+BD*CD
所以AD²=AB×AC-BD×CD
那么对应的我们设三边为abc
（角平分线分对边成比例性质知道么?
就是在这个题目里面就是AB/BC=AD/CD）
则ac-abc/（a+c）²=BD²=CE²=ab-abc/（a+b）²
（我跳了一步,楼主可以在草稿纸上算一下）
化简可以得到
1/a-1/b=[1/（b+c）+1/（a+c）][1/（b+c）-1/（a+c）]
很明显[1/（b+c）+1/（a+c）]大于0
则1/（b+c）-1/（a+c）=（a-b）/(b+c)(a+c)
若a＞b,那么左＜0,右＞0,这是不可能的
同样a＜b也不可能
所以a=b
即这个是等腰三角形
至于斯坦纳定理,需要引入新的定义,那就是西摩松线
为了节省空间我就在上面的图里画好了.
同样是△ABC（只不过不一定是等腰三角形）
同样是P（外接圆上一点）
过P作三边的垂线,垂足分别为S T R
那么STR三点在同一直线上
（图画得不好哈!建议楼主还是用尺规再画一下好了）
至于西摩松线的证明如下：
连结BP
容易证明DPRC四点共圆
所以∠CDR=∠CPR
因为∠BSP=∠BTP
所以BSTP也四点共圆
所以∠STB=∠SPB
而∠PSB=∠PRC=90°
∠PSB=180-∠ACP=∠PCR
所以△SBP∽△PCR
所以∠CDR=∠CPR=∠STB=∠SPB
所以STR在同一直线上
那么斯坦纳定理就是
设△ABC的垂心为H
外接圆上任意一点为P
关于△ABC的点P的西摩松线过线段PH的中点
要证明么?

求证:全等三角形对应角的平分线长相等证明俩个全等三角形的对应角的脚平分线长相等已知如图在△ABC中,AB=AC,BD,CE是这个三角形的底角的平分线.求证四边形EBCD是等腰梯形初三几何证明题已知三角形两底角角平分线分别相等,求证三角形是等腰三角形求证:有两角及其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等(写已知求证求图初中三角形几何题等腰直角三角形ABC中,AD为角平分线,AD⊥CD,求证AE=2CD 三角形角平分线性质在三角形ABC中,两外角的平分线BD、CD相交于D,求证：AD平分《角BAC 尺规做图,做三角形的外心圆,内心圆,到三角形三边的长相等,做垂直平分线,角平分线分别怎样做呢? 急等中,三角形ABC中,角A等于60度,BD CE为三角形ABC的角平分线,交于O.求证；OD=OE 已知：三角形ABC中,AD是角BAC的外角的角平分线.求证：DB+DC大于AB+AC. 已知：如图,BE是三角形ABC的内角平分线,CE是三角形ABC的外角平分线.求证:角E 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是角平分线.求证:四边形EBCD是等腰梯形.