已知函数f(x)=asinx-32(a>0),且在[0,π2]上的最大值为π-32.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 11:18:16
已知函数f(x)=asinx-
3 |
2 |
(Ⅰ)依题意得:f′(x)=a(sinx+xcosx),∵x∈(0,
π
2),∴sinx+xcosx>0,
故当a>0时,f′(x)>0恒成立,即f(x)在(0,
π
2)单调递增,
f(x)max=f(
π
2)=
aπ
2-
3
2=
π-3
2,求得a=1,可得f(x)=xsinx-
3
2.
(Ⅱ)由(1)可知f(x)=xsinx-
3
2,f(0)=-
3
2,f(
π
2)=
π-2
2>0,
且y=f(x)在区间(0,
π
2)上单调递增,故y=f(x)在(0,
π
2)上有且只有一个零点.
当x∈[
π
2,π]时,设g(x)=f′(x)=sinx+xcosx,则g′(x)=2cosx-xsinx,
显然当x∈[
π
2,π]时,g′(x)<0恒成立,故g(x)=f′(x)在[
π
2,π]上是减函数.
又∵g(
π
2)=1>1,g(π)=-π<0,∴必有∈m(
π
2,π),使g(m)=0.
得到①当x∈(
π
2,m)时,g(x)>g(m)=0,
此时f′(x)>0,f(x)单调递增,f(x)≥f(
π
2)=
π-3
2>0,f(x)在区间(
π
2,m)内无零点.
②同理x∈(m,π)时,g(x)<g(m)=0,
此时f′(x)<0,f(x)单调递减,f(m)>0,f(π)=-π-
3
2<0,
f(x)在区间(m,π)内有且只有一个零点.
综上所述,f(x)在区间(0,π)内有两个零点.
π
2),∴sinx+xcosx>0,
故当a>0时,f′(x)>0恒成立,即f(x)在(0,
π
2)单调递增,
f(x)max=f(
π
2)=
aπ
2-
3
2=
π-3
2,求得a=1,可得f(x)=xsinx-
3
2.
(Ⅱ)由(1)可知f(x)=xsinx-
3
2,f(0)=-
3
2,f(
π
2)=
π-2
2>0,
且y=f(x)在区间(0,
π
2)上单调递增,故y=f(x)在(0,
π
2)上有且只有一个零点.
当x∈[
π
2,π]时,设g(x)=f′(x)=sinx+xcosx,则g′(x)=2cosx-xsinx,
显然当x∈[
π
2,π]时,g′(x)<0恒成立,故g(x)=f′(x)在[
π
2,π]上是减函数.
又∵g(
π
2)=1>1,g(π)=-π<0,∴必有∈m(
π
2,π),使g(m)=0.
得到①当x∈(
π
2,m)时,g(x)>g(m)=0,
此时f′(x)>0,f(x)单调递增,f(x)≥f(
π
2)=
π-3
2>0,f(x)在区间(
π
2,m)内无零点.
②同理x∈(m,π)时,g(x)<g(m)=0,
此时f′(x)<0,f(x)单调递减,f(m)>0,f(π)=-π-
3
2<0,
f(x)在区间(m,π)内有且只有一个零点.
综上所述,f(x)在区间(0,π)内有两个零点.
设a为常数,且a>1,0≤x≤2π,则函数f(x)=cos2x+2asinx-1的最大值为( )
设a为常数,且a>1,0≤a≤2π,则函数f(x)=cosx+2asinx-1的最大值为
已知函数f(x)=asinx+bcosx(a、b不等于0)的最大值为2,且f(π/6)=根号3,求f(π/3) 要过程,
已知函数f(x)=asinx+bcosx(a、b≠0)的最大值为2,且f(π/6)=√3 (就是根号3),求f(π/3)
已知函数f(x)=asinx+acosx(a<0)的定义域为[0,π],最大值为4,则a的值为( )
设a为常数,且a>1,0≤a≤2π,则函数f(x)=cos²x+2asinx-1的最大值为
设a为常数 且a>1 0≤x<2π 则函数f(x)=cos^2x+2asinx-1最大值为
已知函数f(x)=asinx+bsinx,当f(π/4)=根号2,且f(x)的最大值为根号10时,求a,b的值
已知函数f(x)=a^x(a>0,且a≠1)在区间【1,2】上的最大值为M,最小值为N
已知函数f(x)=asinx+bcosxf(4分之π)=根号2且f(x)的最大值是根号10求函数的解析式
已知函数f(x)=asinx+bcosx (a>0),f(π/4)=根号2,且f(x)的最小值为-根号10 求a.b 和
已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值为M,最小值为N