已知任意三角形ABC,AD平分角BAC,求证:AD^2=AB*AC-BD*DC.(
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 00:18:18
已知任意三角形ABC,AD平分角BAC,求证:AD^2=AB*AC-BD*DC.(
请高手解决下...
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AB*AC-DB*DC=AD*AD是成立的.
理由如下:在△ABC中,延长AB到E,使BE=BD,则AE=AB+BD.
在AC边上取点F,使CF=CD,则AF=AC-CD.
连结ED,FD.我们只要能证明△AED与△ADF相似就可以了.
而在△AED与△ADF中,∠EAD=∠DAF=∠A/2;
∠CDF+∠CFD=180°-∠C=∠A+∠B,即∠CFD=(∠A+∠B)/2;
故∠ADF=∠CFD-∠A/2=(∠A+∠B)/2-∠A/2=∠B/2=∠AED;
所以△AED~△ADF,则AE/AD=AD/AF,即 AD^2=AE×AF=(AB+BD)(AC-CD)=AB*AC-AB*CD+AC*BD-BD*CD;
另外,过C作DA的平行线交BA延长线于G点,则有BD/DC=BA/AG,因为∠AGC=∠BAD=∠DAC=ACG,所以AC=AG.代入比例式得:BD/DC=BA/AC,
即:AB*CD=AC*BD,
所以
AD^2=AB*AC-BD*CD,即AB*AC-DB*DC=AD*AD成立.
理由如下:在△ABC中,延长AB到E,使BE=BD,则AE=AB+BD.
在AC边上取点F,使CF=CD,则AF=AC-CD.
连结ED,FD.我们只要能证明△AED与△ADF相似就可以了.
而在△AED与△ADF中,∠EAD=∠DAF=∠A/2;
∠CDF+∠CFD=180°-∠C=∠A+∠B,即∠CFD=(∠A+∠B)/2;
故∠ADF=∠CFD-∠A/2=(∠A+∠B)/2-∠A/2=∠B/2=∠AED;
所以△AED~△ADF,则AE/AD=AD/AF,即 AD^2=AE×AF=(AB+BD)(AC-CD)=AB*AC-AB*CD+AC*BD-BD*CD;
另外,过C作DA的平行线交BA延长线于G点,则有BD/DC=BA/AG,因为∠AGC=∠BAD=∠DAC=ACG,所以AC=AG.代入比例式得:BD/DC=BA/AC,
即:AB*CD=AC*BD,
所以
AD^2=AB*AC-BD*CD,即AB*AC-DB*DC=AD*AD成立.
已知,如图,任意三角形ABC中,AD为角BAC的平分线,求证:BD:DC=AB:AC
已知三角形ABC,AD平分角BAC,BD=DC,证明AB=AC
在三角形ABC中,AC=1/2AB,AD平分角BAC,且AD=BD,求证DC垂直AC
已知三角形ABC中,AB=2AC,AD平分∠BAC,且AD=BD,求证:CD⊥AC.
已知AD是三角形ABC中角BAC的角平分线,求证AB:AC=BD:DC
在三角形abc中,ab大于ac,ad平分角bac,交bc于d,求证bd大于dc
已知如图在Rt三角形ABC中角C=90° AD平分角BAC并且AD=BD求证AC=2分之1 AB
三角形ABC中,AD平分角BAC,角B等于2角C,求证:AB+BD=AC
AD是三角形ABC的角平分线,求证AD^2=AB*AC-BD*DC
△ABC中,AB>AC,AD平分∠BAC,求证:AB-AC>BD-DC
如图所示,三角形ABC中,AD平分角BAC,BE垂直AB于点E,DF垂直AC于点F,BD=DC,求证:角B=
在三角形ABC中,AB=2AC,AD平分角BAC,且AD=BD 求证CD垂直于AC