用n个三角形最多可以将平面分成[2+3n(n-1)]部分,试证明?
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 06:43:47
用n个三角形最多可以将平面分成[2+3n(n-1)]部分,试证明?
证法1:
设n个三角形最多将平面分成an个部分.
n=1时,a1=2;
n=2时,第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点,三条边与第一个三角形最多有2×3=6(个)交点.这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段,这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分,从而平面也增加了6个部分,即a2=2+2×3.
n=3时,第三个三角形与前面两个三角形最多有4×3=12(个)交点,从而平面也增加了12个部分,即: a3=2+2×3+4×3.
……
一般地,第n个三角形与前面(n-1)个三角形最多有2(n-1)×3个交点,从而平面也增加2(n-1)×3个部分,故
an=2+2×3+4×3+…+2(n-1)×3
=2+〔2+4+…+2(n-1)〕×3
=2+3n(n-1)=3n^2-3n+2.
证法2:
1个三角形把平面分成2部分
第二个三角形和第一个三角形最多有6个交点,最多可以分成8个平面,增加了6个
第三个三角形和前两个三角形每一个最多都能有6个交点,一共多了2x6=12个交点,平面就能多2x6=12个
以此类推,第N个三角形可以把平面最多分成:
2+1x6+2x6+3x6+.+(n-1)x6
=2+6x(1+2+3+.+(n-1))
=2+3n(n-1)
设n个三角形最多将平面分成an个部分.
n=1时,a1=2;
n=2时,第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点,三条边与第一个三角形最多有2×3=6(个)交点.这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段,这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分,从而平面也增加了6个部分,即a2=2+2×3.
n=3时,第三个三角形与前面两个三角形最多有4×3=12(个)交点,从而平面也增加了12个部分,即: a3=2+2×3+4×3.
……
一般地,第n个三角形与前面(n-1)个三角形最多有2(n-1)×3个交点,从而平面也增加2(n-1)×3个部分,故
an=2+2×3+4×3+…+2(n-1)×3
=2+〔2+4+…+2(n-1)〕×3
=2+3n(n-1)=3n^2-3n+2.
证法2:
1个三角形把平面分成2部分
第二个三角形和第一个三角形最多有6个交点,最多可以分成8个平面,增加了6个
第三个三角形和前两个三角形每一个最多都能有6个交点,一共多了2x6=12个交点,平面就能多2x6=12个
以此类推,第N个三角形可以把平面最多分成:
2+1x6+2x6+3x6+.+(n-1)x6
=2+6x(1+2+3+.+(n-1))
=2+3n(n-1)
平面n条直线最可将平面分成1+n(n+1)/2个部分,则空间内n个平面最多可将空间分成----------个部分?
三个圆最多可以把平面分成几个部分?N个圆呢?三个三角形最多可以把平面分成多少个部分?N个三角形呢?
请问 n个平面将空间最多分成几部分
n个圆最多可以把平面分成多少部分?
设一个平面用n条直线去划分,最多将平面分成f(n)个部分
N个平面最多可以将空间分为几部分?并用数学归纳发证明.
N个平面将3维空间最多分成多少部分?
1条直线可以把平面分成2部分,2条最多分4部分,3条分几部分,N条最多分几部分呢?结果是N
1条直线可以把平面分成2部分,2条最多分4部分,3条最多7部分,N条最多分几部分呢?
n个平面最多把空间分成多少个部分?
五个平面最多可以把空间分成多少部分,n个平面呢
n个平面最多可将空间分成多少个部分