代数数集和自然数集基数相等的证明 (就是证明代数数级可数)
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/22 07:20:49
代数数集和自然数集基数相等的证明 (就是证明代数数级可数)
不要在那里证明有理数集可数
也不要直接说因为方程式可数,所以代数数可数
不要在那里证明有理数集可数
也不要直接说因为方程式可数,所以代数数可数
有理数集可数,这个应该知道.
而代数数是有理系数多项式的根.
而对于一个n次有理系数多项式来,他的根只有有限多个.
而所有n次有理系数多项式与Q^n等势,所以是可数的.(Q^n指有理数Q的n次笛卡尔积.对应方式是利用多项式系数对应Q^n一个点.这是一单射,说明n次有理系数多项式至多可数.而n次有理系数多项式有无限个,说明至少可数.)
所以,对于固定的n,所有根的集合是可数个有限集的并是可数的.
再让n跑遍所有自然数,得到代数数集是可数个可数集的并.所以是可数的.
于是与有理数等势.
(超越数集)的势=(超越数集∪代数数集)的势= (实数集)的势
左边等式成立的理由是:一个无限集并上一个可数集,不改变势
而代数数是有理系数多项式的根.
而对于一个n次有理系数多项式来,他的根只有有限多个.
而所有n次有理系数多项式与Q^n等势,所以是可数的.(Q^n指有理数Q的n次笛卡尔积.对应方式是利用多项式系数对应Q^n一个点.这是一单射,说明n次有理系数多项式至多可数.而n次有理系数多项式有无限个,说明至少可数.)
所以,对于固定的n,所有根的集合是可数个有限集的并是可数的.
再让n跑遍所有自然数,得到代数数集是可数个可数集的并.所以是可数的.
于是与有理数等势.
(超越数集)的势=(超越数集∪代数数集)的势= (实数集)的势
左边等式成立的理由是:一个无限集并上一个可数集,不改变势
代数数集和自然数集基数相等的证明 (就是证明代数数级可数)
所谓“代数数”,指的是有理系数一元(任意有限次)多项式方程的根.由全体代数数构成的集合的基数是多少?给出证明.
无理数集中的代数数集和超越数集基数之间的关系是什么,都是c吗
代数证明
证明全体代数数构成的集合是一个数域
如何证明代数数可数?如题,还忘高手指教.能不能说的再详细一点呢?具体怎么证?
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