已知函数 f(x) =2sin ﹙ωx+Ψ﹚﹙ω>0﹚的图像关于直线x=π/3 对称,且fπ/12) =0,这w的最小值
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/08 14:37:11
已知函数 f(x) =2sin ﹙ωx+Ψ﹚﹙ω>0﹚的图像关于直线x=π/3 对称,且fπ/12) =0,这w的最小值为
解析:
已知函数 f(x) =2sin ﹙ωx+Ψ﹚﹙ω>0﹚的图像关于直线x=π/3 对称,则可知:
当x=π/3时,函数f(x)取得最值
故有:ω*(π/3)+Ψ=kπ+ π/2,k属于Z
即Ψ=kπ+ π/2 -ω*(π/3)
那么:f(x) =2sin ﹙ωx+Ψ﹚=2sin[ωx+kπ+ π/2 -ω*(π/3)]
又f(π/12) =0,所以有:
2sin[ω*(π/12)+kπ+ π/2 -ω*(π/3)]=0
即sin[ω*(-π/4)+kπ+ π/2]=0
解得:ω*(-π/4)+kπ+ π/2=nπ,其中n,k属于Z
ω*(π/4)=(k-n)π+ π/2
ω=4(k-n)+ 2
因为n,k属于Z,那么k-n属于Z
而ω>0
所以:k-n=0时,正数ω的最小值为2.
再问: 即sin[ω*(-π/4)+kπ+ π/2]=0 , 解得:ω*(-π/4)+kπ+ π/2=nπ,这两步不太明白,前者为什么少了2? 后者的n哪来的,怎么等于nπ . 好像解这道题好麻烦哦,有没有更简便的方法啊
再答: 根据正弦函数的图像和性质可知: 当x=nπ,n属于Z时,sinx=0 所以:sin[ω*(-π/4)+kπ+ π/2]=0可得:ω*(-π/4)+kπ+ π/2=nπ。 至于简便方法,可以结合周期考虑: 最小正周期:T=2π/ω,(ω>0)这就是说T与ω成反比例,T越大,那么ω就越小。 由于图像关于直线x=π/3 对称,且f(π/12) =0 那么周期最大为T=4×(π/3 -π/12)=4×π/4=π 即2π/ω=π,解得ω的最小值为2
再问: 可是又怎么知道周期最大为T=4×(π/3 -π/12)=4×π/4=π
再答: 因为x=π/3是对称轴,所以函数图像在x=π/3处是最高点或最低点 而f(π/12) =0,所以函数图像在x=π/12处是与x轴的交点 画草图可以判断,π/3-π/12=T/4时,最小正周期T取得最大值。
已知函数 f(x) =2sin ﹙ωx+Ψ﹚﹙ω>0﹚的图像关于直线x=π/3 对称,则可知:
当x=π/3时,函数f(x)取得最值
故有:ω*(π/3)+Ψ=kπ+ π/2,k属于Z
即Ψ=kπ+ π/2 -ω*(π/3)
那么:f(x) =2sin ﹙ωx+Ψ﹚=2sin[ωx+kπ+ π/2 -ω*(π/3)]
又f(π/12) =0,所以有:
2sin[ω*(π/12)+kπ+ π/2 -ω*(π/3)]=0
即sin[ω*(-π/4)+kπ+ π/2]=0
解得:ω*(-π/4)+kπ+ π/2=nπ,其中n,k属于Z
ω*(π/4)=(k-n)π+ π/2
ω=4(k-n)+ 2
因为n,k属于Z,那么k-n属于Z
而ω>0
所以:k-n=0时,正数ω的最小值为2.
再问: 即sin[ω*(-π/4)+kπ+ π/2]=0 , 解得:ω*(-π/4)+kπ+ π/2=nπ,这两步不太明白,前者为什么少了2? 后者的n哪来的,怎么等于nπ . 好像解这道题好麻烦哦,有没有更简便的方法啊
再答: 根据正弦函数的图像和性质可知: 当x=nπ,n属于Z时,sinx=0 所以:sin[ω*(-π/4)+kπ+ π/2]=0可得:ω*(-π/4)+kπ+ π/2=nπ。 至于简便方法,可以结合周期考虑: 最小正周期:T=2π/ω,(ω>0)这就是说T与ω成反比例,T越大,那么ω就越小。 由于图像关于直线x=π/3 对称,且f(π/12) =0 那么周期最大为T=4×(π/3 -π/12)=4×π/4=π 即2π/ω=π,解得ω的最小值为2
再问: 可是又怎么知道周期最大为T=4×(π/3 -π/12)=4×π/4=π
再答: 因为x=π/3是对称轴,所以函数图像在x=π/3处是最高点或最低点 而f(π/12) =0,所以函数图像在x=π/12处是与x轴的交点 画草图可以判断,π/3-π/12=T/4时,最小正周期T取得最大值。
已知函数 f(x) =2sin ﹙ωx+Ψ﹚﹙ω>0﹚的图像关于直线x=π/3 对称,且fπ/12) =0,这w的最小值
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