设n为正整数,f(n)表示一下满足条件十进制n位数(称为波形数)的个数
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/03 22:14:55
设n为正整数,f(n)表示一下满足条件十进制n位数(称为波形数)的个数
满足(i)每一位上的数码是1,2,3,4中的一个
(ii)当n>=3时,每个数码都要么比其相邻左右两个数码都小,要么比其相邻左右两个数码都大
求:(1)f(10)的值
(2)f(2008)被13除得的余数
答案是8008和10
PS.kdlx2006 的递推过程中有个问题,就是这些结尾不仅仅只有一个,一定有很多数的结尾都是一样的两位,所以就不能只算一次
满足(i)每一位上的数码是1,2,3,4中的一个
(ii)当n>=3时,每个数码都要么比其相邻左右两个数码都小,要么比其相邻左右两个数码都大
求:(1)f(10)的值
(2)f(2008)被13除得的余数
答案是8008和10
PS.kdlx2006 的递推过程中有个问题,就是这些结尾不仅仅只有一个,一定有很多数的结尾都是一样的两位,所以就不能只算一次
兄弟,人家出题要答案,你出题要命啊-.-花了半天的时间,脑细胞都死光了.不知道你这题是属于哪套2008年的竞赛题,估计也是大题吧.如果是道填空题,我就吐血了.我用了很笨的办法,做的累死.但愿还有清晰高效的方法吧.
首先说一句,谢谢kdlx2006,给了一个递归的思路,这题我乱想了很久,以前也没碰过类似的题,单想求f(n)确实很难,所以想了很久还是用递归,可是也不好做哦.>_<
看楼主的问题补充,感觉楼主还是有点水品的,那我就能简则简地答咯.话不多说,开解!
补充定义:f(n),其中,f(n)表示在f(n)中还满足如下条件的数的个数:
i)此数首位为i
ii)此数第二位比首位大[小]
于是,先考察f(1)、f(2):
f(1)=1
f(2):=3;=2;=1;=1;=2;=3.
先做递归再看后面的情况:
递归公式:
f(n+1)=f(n)+f(n)+f(n);
f(n+1)=f(n)+f(n);
f(n+1)=f(n);
f(n+1)=f(n);
f(n+1)=f(n)+f(n);
f(n+1)=f(n)+f(n)+f(n);
然后再补充f(3)、f(4)、f(5):
f(3):=6;=5;=3;=3;=5;=6.
f(4):=14;=11;=6;=6;=11;=14.
f(5):=31;=25;=14;=14;=25;=31.
和斐波那契数列的原理一样,这样做是无法获得一个通式的.
由于对称,下面只考虑一半的情况:
将他们写出来,即:1 2 3;3 5 6;6 11 14;14 25 31...
下面,设某一组的3个数为a b c,则根据通式写下去:
a b c;c c+b c+b+a;c+b+a 2c+2b+a 3c+2b+a;3c+2b+a 5c+4b+2a 6c+5b+3a...
现在计算这四组数每组3数之和(即f(n)/2的值):
a+b+c;a+2b+3c;3a+5b+6c;6a+11b+14c
现在做待定系数法:
α(a+b+c)+β(a+2b+3c)+γ(3a+5b+6c)=6a+11b+14c
于是,可解得:α=-1,β=1,γ=2.
所以,终于得到了递推公式:
f(n+3)=2f(n+2)+f(n+1)-f(n)(n≥2) //注意!范围很重要!
后面的事就简单了.
(1)直接根据递推式求:
f(1)=1;f(2)=12;f(3)=28;f(4)=62;f(5)=140;
f(6)=314;f(7)=706;f(8)=1586;f(9)=3564;f(10)=8008.
(2)易知f(n+3)≡2f(n+2)+f(n+1)-f(n) (mod13)(n≥2)
于是,将余数先一个个写出来,期望能找到周期性,事实上余数是有周期的,从f(1)开始,余数数列为:1 (12 2 10 10 2 4 0 1 0 2 2 6) (12 2...
除第一个数外,以12个数为一周期,易推得f(2008)真好对应余数10
答完睡觉了zzz
首先说一句,谢谢kdlx2006,给了一个递归的思路,这题我乱想了很久,以前也没碰过类似的题,单想求f(n)确实很难,所以想了很久还是用递归,可是也不好做哦.>_<
看楼主的问题补充,感觉楼主还是有点水品的,那我就能简则简地答咯.话不多说,开解!
补充定义:f(n),其中,f(n)表示在f(n)中还满足如下条件的数的个数:
i)此数首位为i
ii)此数第二位比首位大[小]
于是,先考察f(1)、f(2):
f(1)=1
f(2):=3;=2;=1;=1;=2;=3.
先做递归再看后面的情况:
递归公式:
f(n+1)=f(n)+f(n)+f(n);
f(n+1)=f(n)+f(n);
f(n+1)=f(n);
f(n+1)=f(n);
f(n+1)=f(n)+f(n);
f(n+1)=f(n)+f(n)+f(n);
然后再补充f(3)、f(4)、f(5):
f(3):=6;=5;=3;=3;=5;=6.
f(4):=14;=11;=6;=6;=11;=14.
f(5):=31;=25;=14;=14;=25;=31.
和斐波那契数列的原理一样,这样做是无法获得一个通式的.
由于对称,下面只考虑一半的情况:
将他们写出来,即:1 2 3;3 5 6;6 11 14;14 25 31...
下面,设某一组的3个数为a b c,则根据通式写下去:
a b c;c c+b c+b+a;c+b+a 2c+2b+a 3c+2b+a;3c+2b+a 5c+4b+2a 6c+5b+3a...
现在计算这四组数每组3数之和(即f(n)/2的值):
a+b+c;a+2b+3c;3a+5b+6c;6a+11b+14c
现在做待定系数法:
α(a+b+c)+β(a+2b+3c)+γ(3a+5b+6c)=6a+11b+14c
于是,可解得:α=-1,β=1,γ=2.
所以,终于得到了递推公式:
f(n+3)=2f(n+2)+f(n+1)-f(n)(n≥2) //注意!范围很重要!
后面的事就简单了.
(1)直接根据递推式求:
f(1)=1;f(2)=12;f(3)=28;f(4)=62;f(5)=140;
f(6)=314;f(7)=706;f(8)=1586;f(9)=3564;f(10)=8008.
(2)易知f(n+3)≡2f(n+2)+f(n+1)-f(n) (mod13)(n≥2)
于是,将余数先一个个写出来,期望能找到周期性,事实上余数是有周期的,从f(1)开始,余数数列为:1 (12 2 10 10 2 4 0 1 0 2 2 6) (12 2...
除第一个数外,以12个数为一周期,易推得f(2008)真好对应余数10
答完睡觉了zzz
设n为正整数,f(n)表示一下满足条件十进制n位数(称为波形数)的个数
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设n是大于1909的正整数,使得n−19092009−n为完全平方数的n的个数是( )
设 n是大于1909的正整数,使得n-1909/2009-n 为完全平方数的n 的个数是?
设正整数n满足4n+3
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设函数f(x)满足f(n+1)=(2f(n)+n)/2 (n为正整数),且f(1)=2,则f(20)=_______
设函数f(x)满足f(n+1)=(2f(n)+n)/2 n为正整数,则f(20)为?