△ABC内接于圆,P为弧BC上一点,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F.求证:D、E、F三点共线
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/25 19:25:56
△ABC内接于圆,P为弧BC上一点,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F.求证:D、E、F三点共线
这是著名的西姆松定理,著名如下:
可以参见http://baike.baidu.com/view/344849.htm#1
证明一: △ABC外接圆上有点P,且PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,PD⊥BC于D,分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆,于是∠FDP=∠ACP ①,(∵都是∠ABP的补角) 且∠PDE=∠PCE ② 而∠ACP+∠PCE=180° ③ ∴∠FDP+∠PDE=180° ④ 即F、D、E共线. 反之,当F、D、E共线时,由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆. 证明二: 如图,若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆,有 ∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 故A、B、P、C四点共圆. 若A、B、P、C四点共圆,则∠PBN = ∠PCM.因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆,有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三点共线.
可以参见http://baike.baidu.com/view/344849.htm#1
证明一: △ABC外接圆上有点P,且PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,PD⊥BC于D,分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆,于是∠FDP=∠ACP ①,(∵都是∠ABP的补角) 且∠PDE=∠PCE ② 而∠ACP+∠PCE=180° ③ ∴∠FDP+∠PDE=180° ④ 即F、D、E共线. 反之,当F、D、E共线时,由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆. 证明二: 如图,若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆,有 ∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 故A、B、P、C四点共圆. 若A、B、P、C四点共圆,则∠PBN = ∠PCM.因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆,有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三点共线.
如图11,三角形ABC内接于圆,P为弧BC上一点,PD垂直AB于D,PE垂直BC于E,PF垂直AC于F.求证:D,E,F
已知:p为等边△ABC内任意一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,PB⊥BC于F.求证:PD+PE+PF是定值
等边△ABC内接圆O,P为弧AB上一动点,PE⊥BC于E,PD⊥AB于D,PF⊥AC于F,若园O的半径为6,试求PE+P
已知:等腰△ABC中,底边BC上有任意一点P,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF垂直AB于F,求证:
在△ABC,AB=AC,点P是边BC上的任意一点,PD⊥AB于D,PE⊥CA于E,CF⊥AB于F.求证PD+PE=CF
如图1△ABC为等腰三角形,AD⊥BC于D,点P在BC上,且PE⊥AB于E,PE⊥AC于F.1求证AD=PE+PF
p为等边三角形ABC内任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥CA于E,PF⊥AB于F,则(PD+PE+PF)/(BD+CE+A
如图,在△ABC中,AB=AC,P底边BC上一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F. (1)求证:PD+P
已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点P为BC上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于点F.
如图,在△ABC中,AB=AC,P为底边BC上的一点PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F,那么PD+PE与CF
如图,P为等边三角形ABC内任意一点,PD垂直AB于D,PE垂直BC于E,PF垂直AC于F.求PD+PE+PF是定值
点P为等边△ABC内一点,PD⊥AB于D,PE⊥BC于F,AQ⊥BC于Q,求:AQ=PD+PE+PF