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已知a,b,c为三角形ABC三边的长,b/a+c/b+a/c=3时,三角形ABC为______三角形,

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/06 06:31:17
已知a,b,c为三角形ABC三边的长,b/a+c/b+a/c=3时,三角形ABC为______三角形,
已知a,b,c为三角形ABC三边的长,b/a+c/b+a/c=3时,三角形ABC为______三角形,
等边三角形.
由均值不等式可得
B/A+C/B+A/C>=3倍3次根号下[(B/A)*(C/B)*(A/C)]=3
而等号成立的条件是B/A=C/B=A/C
即A=B=C
而已知B/A+C/B+A/C=3 ,所以A=B=C
由不等式A^2 + B^2 >= 2AB ,B^2 + C^2 >= 2BC ,C^2 + A^2 >= 2AC 三式我们可知道他们成立的前提是当且仅当A=B,B=C,C=A.于是我们可对三式两端分别除以AB,BC,CA得到
A/B + B/A >= 2
B/C + C/B >= 2
C/A + A/C >= 2
于是三式相加,可得到
(A+C)/B + (B+C)/A +(B+A)/C >= 6
由因为 B/A + C/B + A/C = 3 ,代入上式可得
A/B + C/A + B/C >= 3
我们将上式B与C互换得
A/C + B/A + C/B >=3
对照 B/A + C/B + A/C = 3 ,我们可知当且仅当A=B=C的条件下,已知式成立,因此唯有
A=B=C
得证.