神马作文网高数导数的问题,考研的
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/13 08:09:20
高数导数的问题,考研的
某x0点导数大于零,则存在a,使得函数在（xo-a,xo+a）单调递增.这句话错在哪里?
某x0点导数大于零,则存在a,使得函数在（xo-a,xo+a）单调递增.这句话错在哪里?
函数上某一点导数为正,该点邻域不一定形成单增区间.虽然左边的点都比该点低,右边的点都比该点高,但这并不能说明左边和右边各自都是单增的.这样的函数确实存在,而且并不是那种很怪的函数,仅仅是一个简单的初等函数：f(x) = x + 2x^2*sin(1/x).由于x=0时函数没有定义,我们规定f(0)=0.按照导数的定义,函数在x=0时的导数值为
Limit[ (f(0+Δx)-f(0))/(Δx-0),Δx->0 ]
= Limit[ f(Δx)/Δx,Δx->0 ]
= Limit[ 1 + 2Δx*sin(1/Δx) ,Δx->0 ]
= 1
这说明函数在x=0处的导数确实是正的.当x≠0时,按照求导法则可以求出f'(x) = 1 - 2*cos(1/x) + 4x*sin(1/x).当|x|充分小时,最后一项可以忽略不计；此时只要1/x恰好等于2πn (n为整数),那么f'(x)保证是负的.这就告诉我们,x=0左右任意近的位置都存在导数为负的情况,这样不管邻域范围多小总能找到一个函数值在减小的地方.
Limit[ (f(0+Δx)-f(0))/(Δx-0),Δx->0 ]
= Limit[ f(Δx)/Δx,Δx->0 ]
= Limit[ 1 + 2Δx*sin(1/Δx) ,Δx->0 ]
= 1
这说明函数在x=0处的导数确实是正的.当x≠0时,按照求导法则可以求出f'(x) = 1 - 2*cos(1/x) + 4x*sin(1/x).当|x|充分小时,最后一项可以忽略不计；此时只要1/x恰好等于2πn (n为整数),那么f'(x)保证是负的.这就告诉我们,x=0左右任意近的位置都存在导数为负的情况,这样不管邻域范围多小总能找到一个函数值在减小的地方.