设f（x）=ex-1．当a＞ln2-1且x＞0时，证明：f（x）＞x2-2ax．

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/10/01 06:23:48

设f（x）=e^x-1．当a＞ln2-1且x＞0时，证明：f（x）＞x²-2ax．

设f（x）=ex-1．当a＞ln2-1且x＞0时，证明：f（x）＞x2-2ax．

证明：欲证f（x）＞x²-2ax，即e^x-1＞x²-2ax，
即证e^x-x²+2ax-1＞0．
可令u（x）=e^x-x²+2ax-1，则u′（x）=e^x-2x+2a．
令h（x）=e^x-2x+2a，则h′（x）=e^x-2．
当x∈（-∞，ln 2）时，h′（x）＜0，
函数h（x）在（-∞，ln 2]上单调递减，
当x∈（ln 2，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）在[ln 2，+∞）上单调递增．
所以h（x）的最小值为h（ln 2）=e^ln2-2ln 2+2a=2-2ln 2+2a．
因为a＞ln 2-1，
所以h（ln 2）＞2-2ln 2+2（ln 2-1）=0，即h（ln 2）＞0．
所以u′（x）=h（x）＞0，即u（x）在R上为增函数．
故u（x）在（0，+∞）上为增函数．所以u（x）＞u（0）．
而u（0）=0，所以u（x）=e^x-x²+2ax-1＞0．
故当a＞ln 2-1且x＞0时，f（x）＞x²-2ax．

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