设角A,B,C为三角形ABC的三个内角,已知cos(B+C)+sin^2(A/2)=5/4.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/25 14:35:39
设角A,B,C为三角形ABC的三个内角,已知cos(B+C)+sin^2(A/2)=5/4.
(1)求角A的大小;(2)若AB×AC=-1,求BC边上的高AD长的最大值
(1)求角A的大小;(2)若AB×AC=-1,求BC边上的高AD长的最大值
第一个问题:
∵cos(B+C)+[sin(A/2)]^2=5/4,∴2cos(B+C)+2[sin(A/2)]^2=5/2,
∴2cos(180°-A)+1-cosA=5/2,∴-2cosA+1-cosA=5/2,∴3cosA=1-5/2=-3/2,
∴cosA=-1/2,∴A=120°.
第二个问题:
∵cosA=向量AB·向量AC/(AB×AC)=-1/2,∴-1/(AB×AC)=-1/2,∴AB×AC=2,
∴S(△ABC)=(1/2)AB×ACsinA=(1/2)BC×AD,∴BC×AD=2sin120°=√3.
显然,当BC取最小值时,AD有最大值.
由余弦定理,有:
BC^2
=AB^2+AC^2-2AB×ACcosA=(AB+AC)^2-2AB×AC-2AB×ACcosA
≧[2√(AB×AC)]^2-2AB×AC-2AB×ACcosA=4AB×AC-2AB×AC-2AB×ACcosA
=2AB×AC-2AB×ACcosA=2√3-2√3×(-1/2)=2√3+√3=3√3=3^(3/2),
∴BC的最小值=3^(3/4),∴AD的最大值=√3/[3^(3/4)]=3^(1/2-3/4)=1/3^(1/4).
∵cos(B+C)+[sin(A/2)]^2=5/4,∴2cos(B+C)+2[sin(A/2)]^2=5/2,
∴2cos(180°-A)+1-cosA=5/2,∴-2cosA+1-cosA=5/2,∴3cosA=1-5/2=-3/2,
∴cosA=-1/2,∴A=120°.
第二个问题:
∵cosA=向量AB·向量AC/(AB×AC)=-1/2,∴-1/(AB×AC)=-1/2,∴AB×AC=2,
∴S(△ABC)=(1/2)AB×ACsinA=(1/2)BC×AD,∴BC×AD=2sin120°=√3.
显然,当BC取最小值时,AD有最大值.
由余弦定理,有:
BC^2
=AB^2+AC^2-2AB×ACcosA=(AB+AC)^2-2AB×AC-2AB×ACcosA
≧[2√(AB×AC)]^2-2AB×AC-2AB×ACcosA=4AB×AC-2AB×AC-2AB×ACcosA
=2AB×AC-2AB×ACcosA=2√3-2√3×(-1/2)=2√3+√3=3√3=3^(3/2),
∴BC的最小值=3^(3/4),∴AD的最大值=√3/[3^(3/4)]=3^(1/2-3/4)=1/3^(1/4).
设角A,B,C为三角形ABC的三个内角,已知cos(B+C)+sin^2(A/2)=5/4.
已知三角形ABC的三个内角为A,B,C则sin(TT/2-A)+2cos((B+C)/2)的最大值为多少
已知A,B,C是三角形ABC的三个内角,若1+sin2B/(cos^2B-sin^2B) =2+根号3,求角B
已知三角形ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c 设角A的对边长a=1,当cosA+2cos(B+C/2)取到
已知三角形ABC的三内角A,B,C满足sin(180°-A)=√2cos(B-90°),求角A,B,C
设三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin(A-派/6)=cosA
已知三角形ABC的三个内角,满足A+C=2B,设x=cos((A-C)/2),f(x)=cosB(1/cosA+1/co
已知三角形ABC的三个内角,满足A+B=2B,设x=cos(A-C)/2,f(x)=cosB(1/cosA+1/cosC
已知三角形ABC的三个内角分别为A,B,C,证明cosA=-cos(B+C)
已知三角形ABC的内角A,B,C设函数f(x)=根号3*sin(x/2)*c
已知三角形ABC的三个内角ABC成等差数列,且A-C=派\3求cos^2A+cos^2B+cos^2C的值
三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c 求 c