给我推荐几个有点难度的数学压轴题,我是长春市的,最好有像10年天津市最后那道函数大题的难度的题,本人爱数学,喜欢做数学题

给我推荐几个有点难度的数学压轴题,我是长春市的,最好有像10年天津市最后那道函数大题的难度的题,本人爱数学,喜欢做数学题.

1、如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点,P（0,m）是线段OC上一动点（C点除外）,直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是等腰三角形时,求m的值；
（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H（如图2）．当点P从点O向点C运动时,点H也随之运动,请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）



2、如图,菱形ABCD中,AB＝10,sinA＝ 4 5 ,点E在AB上,AE＝4,过点E作EF∥AD,交CD于F,点P从点A出发,以每秒1个单位长的速度沿线段AB向终点B匀速运动,同时点Q从点E出发,以相同的速度沿线段EF向终点F匀速运动,设运动时间为t（秒）．
（1）当t＝5秒时,求PQ的长；
（2）当BQ平分∠ABC时,直线PQ将菱形ABCD的周长分成两部分,求这两部分的比；
（3）以P为圆心,PQ长为半径的⊙P是否能与直线AD相切?如果能,求此时t的值；如果不能,说明理由．
（1）根据题意画出图形,如图所示： 过点P作PM⊥EF,垂足为M,
由题意可知AE=4,AP=EQ=5,则EP=1,
∵EF∥AD,
∴∠BEF=∠A,即sin∠BEF=sinA=4/ 5 ,
即PM EP =4/ 5 ,则PM=4/ 5 ,
根据勾股定理得：EM=3 /5 ,
则MQ=5-3/ 5 =22/ 5 ,
在直角三角形PQM中,根据勾股定理得：
PQ= (4 5 )2+(22 5 )2 =2 5 ；
（2）根据题意画出图形,如图所示：

∵BQ平分∠ABC,
∴∠EBQ=∠CBQ,
又∵BC∥EF,
∴∠CBQ=∠EQB,
∴∠EBQ=∠EQB,
∴EB=EQ=10-4=6,
则t=6,AP=6,
∴BP=4,QF=4,
设PQ交CD于点M,
∵AB∥CD,
∴∠EPQ=∠FMQ,∠PEQ=∠MFQ,
∴△EPQ∽△FMQ,
∴EP/ FM =EQ/ QF ,即2 /FM =6 /4 ,
∴FM=4 /3 ,
则MD=4-4/ 3 =8 /3 ,MC=22 /3 ,
则直线PM分菱形分成的两部分的周长分别为AP+AD+MD和PB+BC+CM,
即菱形的周长被分为56 /3 和64 /3 ,
所以这两部分的比为7：8；
（3）过P作PH⊥AD于H,交EF于G点,
则PH=4 /5 t,PE=t-4,PG=4/ 5 （t-4）,EG=3/ 5 （t-4）,
∴GQ=t-EG=2/ 5 t+12 /5 ,
PQ2=PG2+GQ2=（4/ 5 t-16/ 5 ）2+（2/ 5 t+12 /5 ）2,
由题意可得方程(4/ 5 t)2=（4 /5 t-16/ 5 ）2+（2/ 5 t+12 /5 ）2,
解得：t=10．
3、已知四边形ABCD是边长为4的正方形,以AB为直径在正方形内作半圆,P是半圆上的动点（不与点A、B重合）,连接PA、PB、PC、PD．
（1）如图①,当PA的长度等于_________时,∠PAB＝60° ；
当PA的长度等于_________时,△PAD是等腰三角形；
（2）如图②,以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O）,记△PAD、△PAB、△PBC的面积分别为S1、S2、S3．设P点坐标为（a,b）,试求2S1S3－S22的最大值,并求出此时a、b的值．

4、如图,在矩形ABCD中,AB＝4,AD＝2,点M是AD的中点,点E是边AB上的一动点．连结EM并延长交射线CD于点F,过M作EF的垂线交BC的延长线于点G,连结EG,交边DC于点H．设AE的长为x,△MEG的面积为y．
（1）求sin∠MEG的值；
（2）求y关于x的函数解析式,并确定自变量x的取值范围；
（3）设线段MG的中点为N,连结CN．是否存在x的值,使得以N、C、G为顶点的三角形与△EFH相似?若存在,求x和y的值；若不存在,请说明理由．
（1）过点G作GN⊥AD交AD的延长线于点N,可证得△AEM∽△NMG,
∴MG /EM =GN/ MA ,
∴GN=AB=4,
∵M是AD的中点,
∴AM=1,
∴MG/ EM =GN/ MA =4,
∵GM⊥EF,
∴在Rt△EMG中,
∴tan∠MEG=MG /EM =4；
（2）由（1）知,MG /EM =4,即MG=4EM,
∵在Rt△AEM中,EM= x2+1 ,
∴MG=4 x2+1 ,
∵S△EMG=1 2 EM•MG,
∴y=2x2+2 （1/ 4 ＜x≤4）；
（3）分别过点P、M作PH、MI垂直BG于点H,I,
∴BE=4-x,IG=4x,
∴BG=4x+1,CF=x+4,CG=4x-1,CH=2x-1,
∴EF=PG,∠F=∠PGC,
∵△PGC∽△EFQ,
∴∠QEF=∠CPG或∠QEF=∠PCG,
①当∠QEF=∠CPG时,则可证：△CPG≌△QEF,
∴QF=CG=4x-1,
∴CQ=CF-QF=5-3x,
可证BE∥CQ,
∴CG BG =CQ BE ,即CG•BE=CQ•BG,
∴（4x-1）（4-x）=（5-3x）（4x+1）,
解得：x1=3/ 4 2 ,x2= -3/ 4 2 （舍去）,
∴y=17 /4 ；
②当∠QEF=∠PCG时,则可证∠PCG=∠MEG＜90°,
∴点H在点C的右侧,即CH=2x-1,
又可PH /CH =tan∠MEG=4,即PH=4CH, ∴2=4（2x-1）,
解得：x=3/ 4 ,
∴y=25/ 8
综上所述,可知y的值是17 /4 或25/ 8 ．