设函数f〔x〕对任意x,y属于R,都有f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕,且x＞0时,f〔x〕＜0.

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/10/02 01:21:40

设函数f〔x〕对任意x,y属于R,都有f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕,且x＞0时,f〔x〕＜0.
⑴证明f〔x〕为奇函数,⑵证明f〔x〕在R上为减函数

(1) 【证明f〔x〕为奇函数,即证明 f(-x)=-f(x)】
f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕,将 x=0 ,y=0 代入 ,可得：f(0)=f(0)+f(0),那么 f(0)=0
将 y=-x 代入 f(0)=f(x)+f(-x) =0 那么：f(-x)=-f(x)
因此 f〔x〕为奇函数
(2) 【证明f〔x〕在R上为减函数 ,即证明：当x1＜x2 时候,f(x1)>f(x2)】
先设 x1＜x2 ,由f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕可得:f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1),
∵ x1＜x2,∴ x2-x1>0
由题目中：且x＞0时,f〔x〕＜0 可知：f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)

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