神马作文网一道高中函数奇偶性的数学题
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 16:52:13
一道高中函数奇偶性的数学题
设函数f(x)在（-∞,+∞）上满足f（2-x）=f(x+2),f(7-x)=f(x+7),且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0
试求方程f（x）=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论
设函数f(x)在（-∞,+∞）上满足f（2-x）=f(x+2),f(7-x)=f(x+7),且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0
试求方程f（x）=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论
f（2-x）=f(x+2),f(7-x)=f(x+7)说明函数关于x=2和x=7对称(这时候就可以看出周期是10,后面是计算上的求法),把x=t-5带入f（2-x）=f(x+2),得f(7-t)=f(t-3),同时f(7-x)=f(x+7),则有f(x+7)=f(x-3),知周期为10
关于x=7对称,[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0 ,[7,10]与[4,7]对称,没有0点,可知一周期[0,10]内有两个0点,则[-2000,2000]共400周期,有800个0点[2000,2005]与[0,5]情况相同,有2个0点,[-2005,-2000]与[5,10]相同,没有0点.
综上所述,f（x）=0在闭区间[-2005,2005]上的根有802个
关于x=7对称,[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0 ,[7,10]与[4,7]对称,没有0点,可知一周期[0,10]内有两个0点,则[-2000,2000]共400周期,有800个0点[2000,2005]与[0,5]情况相同,有2个0点,[-2005,-2000]与[5,10]相同,没有0点.
综上所述,f（x）=0在闭区间[-2005,2005]上的根有802个