AB是n阶方阵,且其中一个非奇异,证明AB与BA相似
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/24 00:19:51
AB=0|AB|=0|A|*|B|=0|A|=0或|B|=0
=IkAI=k^n iAi =k^n*4
可以这么证:设A是N×N的方阵.首先,存在非零列向量X(NX1),满足AX=0,因为A不满秩.其次,存在非零列向量Y(N×1),满足A(T)Y=0,因为A(T)也不满秩(T代表矩阵转置).然后,考虑这
A可逆,A^(-1)ABA=BA,因此AB与BA相似
1.A,B均可逆不能保证A,B可交换(AB=BA)2.最好能经过变换后能提出含λ的因子5-λ-13-15-λ-33-33-λr1+r24-λ4-λ0-15-λ-33-33-λc2-c14-λ00-16
对B分块,即B=[C,D],其中C为n*n方阵,D为n*(n-s)阵,那么C的秩为n,即C可逆(1)如果AB=A[C,D]=[AC,AD]=0有AC=0,两边右乘C逆有A=0(2)若AB=B,则AB-
最有问题,能有反例,比如令A=B=0就满足AB=A-B=0但A+B=0,不可逆
A+B+AB=0(I+A)(I+B)=-I即I+A可逆,逆矩阵为-(I+B).因此(I+B)(I+A)=-I即A+B+BA=0所以AB=BA
反证法:若A的行列式不为零,则A的秩为n,即A满秩,A可逆,等式两边的左侧都乘以A的逆矩阵,得到B=0,矛盾,故A不可逆,极为A的行列式值为0.
证明:∵|A+E|=|A+AAT|=|A||E+AT|=-|(E+A)T|=-|E+A|∴2|E+A|=0,即|E+A|=0.
因为A,B均为n阶方阵且AB=O所以R(A)+R(B)≤n①假设A、B都可逆,则R(A)=n,R(B)=n那么R(A)+R(B)=2n与①矛盾所以A、B中至少有一个不可逆.
选B因为若|A|不等于0,则A可写成一系列初等矩阵的乘积,AB相当于对B作一系列初等变换,初等变换不改变矩阵的秩,所以AB同B有相同的秩,但是,由于AB=0,所以其秩为0,而B不等于0,所以其秩至少为
A,B为n阶方阵,且AB=0,其中A不等于0,B=0不成立(A-B)^2=A^2+B^2也不成立(A-B)^2=A^2+B^2-AB-BA,-AB-BA这两项是不能随便丢弃的,并且很多时候AB不等于B
由AB=A+B,有(A-E)(B-E)=AB-A-B+E=E.A-E与B-E互为逆矩阵,于是也有(B-E)(A-E)=E.展开即得BA=A+B=AB.
因为|5A+3E|=0,所以|A-(-3/5)E|=0,从而-3/5是A的一个特征值.
由A可逆,且AB=0等式两边左乘A^-1得A^-1AB=A^-10即B=0所以(A)正确
必要性:对AB=0两边取行列式,即│AB│=│A││B│=0,因B为非零矩阵,故│B│不等于零,所以,│A│=0充分性:假设AB=C,对AB=C两边取行列式,即│AB│=│A││B│=│C│,因为│A
|A+I|=|A+AA^T|=|A|*|I+A^T|=|A|*|I+A|=-|A+I|,其中倒数第二个等号是因为转置得行列式等于本身.移项得结果.
(A-I)(B-I)=AB-A-B+I=I所以A-I和B-I都不能为0,即(A-I)和(B-I)都是可逆的.
BA=A+BB=BA-AB=(B-I)A(I=identitymatrix)(B-I)^(-1)*B=(B-I)^(-1)*(B-I)*A(B-I)^(-1)*B=A(B-I)^(-1)*B*B=AB